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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 {KwGxq )^  
u&{':,?^(7  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. PeQO=l_  
M 8=HA O+  
　　1、三角函数本质： E\;mFdUWS  
JS1;XtI  
　　三角函数的本质来源于定义 -#-J,a  
de#LIo@  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 J__ gR  
4U X[ /  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 8"zhr(  
(|R.R W]P  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： K,x8om%V  
.vr"wj0)M  
　　推导： *KY?,R+(  
.[ J15hg  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Xd>wxYfU  
0u@'\1  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +z~Y"x  
{!`^QS#6  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /= n?cp  
QD|6| c  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 D7{t,!M>.  
* G4'E/w  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） w ;#9ctm  
?Gt3AXoy  
　　[1] ;sGk$#G0  
_^x" so+~  
　　两角和公式 81<4Pgd  
XY'heq~A  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }bP[krJ  
ElFGf%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  xjUy- ?x  
h;sjhmQ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB oIs)qBkh  
hMBE$0Z  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ?Y1`(Kq-T  
IB && O [  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) / w{$<I-l  
SEb,EgOD  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) t3` 3|bs4  
;u5&yL2Y  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  OyHq27a  
2XeMMP51  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) m^\P|"xc  
fd.2}|W6-  
倍角公式 "}>iUga(  
q+':OU$&  
　　Sin2A=2SinA•CosA |Pj"G]  
lsF=I j3  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 q+i{oto(P  
6p|t;hE`  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 4am`S_f ?  
|lY_ *C  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） c/q} J)E  
Tn4/AF/8og  
三倍角公式 mM0.ud#  
-mmfI IK  
　　 .Rn)2dwC-  
be'\l#IR  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }>=BJ/z4l  
l:\?[#Ip  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) >M=p*+9!R  
NHL8 +  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 0[Mop?g{  
{;F4iT]Ku  
三倍角公式推导 Vwy2A6)Ld  
';Q[o+rYW  
　　sin3a |!y(g!Ne  
` ,z_?}LU  
　　=sin(2a+a) llA:Jd^VA  
mM}=>6T*  
　　=sin2acosa+cos2asina rmDDTMN0  
YmiUeC  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina :<r6l'hs  
C:A`U!M  
　　=3sina-4sin³a ?k+4WPT  
`JzlA'  
　　cos3a 3xM<L&z{  
9O a/"0  
　　=cos(2a+a) _`V8Q  
S(~ jSL{  
　　=cos2acosa-sin2asina d-vC)NI  
JX /4U!n"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa vMM\QG&h  
fY;a[  
　　=4cos³a-3cosa lS: dsP~  
D{z ro^S  
　　sin3a=3sina-4sin³a dT|CU*}  
D1hZg#,L  
　　=4sina(3/4-sin²a) dXt9"$(=  
#&#bK'h  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] lh!,(MDoc  
m[;73qb  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) v\`*Rh^!+  
oO#e{@i`  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Wh/V-6g'R  
O}$iW-_  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] GEO;@ $g  
*t$>})I%  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <=jx)h !  
HH[_c/0[Iz  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <6K:n;90  
:yvy9;Ch  
　　=4cosa(cos²a-3/4) s#eln!>G  
O!1$!r  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 3hipRH1 Y  
E!<et-C  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) MH[\b*  
[7Xs~ H  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) :_Pnw/-&]  
##4 zr,6O  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} M") #'%  
MN> +9H  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) }Bw<6~\x  
S3_ 84  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 5#W-5(b  
j3xD6>%<  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] D1WLKc"]  
/0o,90p9-  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) JoyI){~  
VwyD:=S  
　　上述两式相比可得 b"(]E ,  
0Q&.Q}5q  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) gPv1g@?$7  
yNPMy':  
半角公式 | MY@yp L  
KO4fe"k\  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Z"Oa:-hlh  
`]R(jgUc_E  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. lK^HV ;u  
y_>:zU  
和差化积 y[Ep&Di  
&d./ lkn  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6! :<C}r>  
,!UaW;I!]  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cOY${x  
UgO{z6F_  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] IF2fX4 !  
|^Q*mY-=B  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] TJ4xn\'+  
`HE2*nO$  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) u8|u="R  
s(/15uP3D  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) !96wff$C  
I~dn&g2h\  
积化和差 ~ryoo}oQ  
ks-n[0$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] lq.q{`f  
/$7|||Z  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] {=[i\slnG  
<V^"yOJ  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] P_Qm2t  
)uD, #+'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %?gH<Tp3f  
@VO2ur[Jw  
诱导公式 ei)pM}$>  
]hf,; ``u  
　　sin(-α) = -sinα @39U)3  
]d^9H>zq  
　　cos(-α) = cosα J0oA*&  
4 ,J m{K  
　　sin(π/2-α) = cosα %~\`yiwx  
. .\zJY  
　　cos(π/2-α) = sinα zg`Sz6\pP  
V7SeI:s  
　　sin(π/2+α) = cosα Wqj>usj4  
 #%@H9b  
　　cos(π/2+α) = -sinα lMYL"]  
OQ;>irzw  
　　sin(π-α) = sinα Bm}DIZK<  
$k\%1\&  
　　cos(π-α) = -cosα @*0%KeZdwt  
la\1Fh:&  
　　sin(π+α) = -sinα Hvt,nRR5  
=o\S+ZV  
　　cos(π+α) = -cosα h&P)sUgJ  
7 8N$) "  
　　tanA= sinA/cosA "1m;"  
iM,;GFIc`  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα J9/sK  
#Cg<S26  
　　tan（π/2－α）＝cotα 2=IE3?  
4*@[_5 F  
　　tan（π－α）＝－tanα 3X53V @z  
b{;S, IH  
　　tan（π＋α）＝tanα (~ D3FS?  
UEO De.$VJ  
万能公式 s|[lP  
IIo.+U%%  
　　 -jqYYYX  
a '2 T9j  
其它公式 3!3fcC\M?^  
fbU,{/h  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 @5Q4(7r*i  
hjKJP9*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 7B$j{IoM&  
bD#&E+n  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 *T Ro{k/  
=|?<F|).  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K&L+%Y ``  
r!lW.\5D;  
　　对于任意非直角三角形,总有 E+#{FaLNeo  
^;NyH[P}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC CLLKT  
26UJ `  
　　证: 5nYk'5G_w  
x#;3Q>M|}  
　　A+B=π-C 5n^q~kI  
V[Se*{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ?qFCK51,W  
"-[ =0AL<  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) vdQ" mnl@  
D x)L^Q&N  
　　整理可得 giFHbh{]_  
I}RGckBQ!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M*tl"` _ }  
:PP&[b?Ju  
　　得证 WV~I>QM  
R`c`#,y  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 z?v5};RU  
*1/ Aj2  
其他非重点三角函数 ;D^g(s:  
Iz\-'^yGV  
　　csc(a) = 1/sin(a) Ia<E`,?3  
y7jK- O/  
　　sec(a) = 1/cos(a) y&H xhGL  
>mWM`a"G4  
　　 YAnz@@c(  
QrLwB|{vc  
双曲函数 u%=%CG  
}8-#vs=A  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 whC=%,J5f  
SXF"m`aY8  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 aj &m4]X;  
Z?!e1 :  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  N^Mp^&>  
FcWzO  
　　公式一： {%Oa-dl[p  
`oTDMx  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： |V FsV  
fL~N jk8  
　　sin（2kπ＋α）= sinα , =4j s  
kGj\;`U  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ^S_  
+|P<zVE!B  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4[.lPU   
]5# '466  
　　cot（kπ＋α）= cotα c|rRnHTJ  
_9Qxwm#+  
　　公式二： !Ou~KJ+M_  
Xhqz+@^Do  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Juc-r@  
'-G'w-2N/  
　　sin（π＋α）= -sinα h:Zxy\L  
@n#|(=&  
　　cos（π＋α）= -cosα S~-iw;&\  
O|\{E|  
　　tan（π＋α）= tanα N W*b?|R  
=yN} E  
　　cot（π＋α）= cotα DV82 t(  
-tPhj   
　　公式三： I{ktX "  
zJ9RN4'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ESn1W5N[%\  
VPK'#=qRv  
　　sin（-α）= -sinα |:82{$8e  
bBpFbOA  
　　cos（-α）= cosα plmrC{G  
%{9v'c>l  
　　tan（-α）= -tanα (= N +=  
\kw:K~%  
　　cot（-α）= -cotα f'gvv,  
iQ.Ta"x[&  
　　公式四： >K`7 HU]  
=.eZ"~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： c[Nj%nm{  
EyZ@vnP  
　　sin（π-α）= sinα d{5]T&qc  
DNOQ,NG  
　　cos（π-α）= -cosα ?JfGoJ1_  
HM s0Mg#  
　　tan（π-α）= -tanα hT#[.XNQ  
W.@j{  
　　cot（π-α）= -cotα T|MbA&<u  
l"Q& W  
　　公式五： z?r8HL  
r}n0 5K%9  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： >Y+o&Y0S  
|P;5Rl-  
　　sin（2π-α）= -sinα {R1-v%jv  
G 2_5+  
　　cos（2π-α）= cosα %[2,L9PR  
t.7&[pgJ  
　　tan（2π-α）= -tanα CbwQhGR  
j^OX6P2  
　　cot（2π-α）= -cotα m9ejR`^i  
+l:}2-m%  
　　公式六： Q$cTPJ %n  
t ~U}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： $G7`EE  
~f)+["{$  
　　sin（π/2+α）= cosα /P o33  
Wz?^5g{ \  
　　cos（π/2+α）= -sinα MLhPbr;  
){A"9Vp  
　　tan（π/2+α）= -cotα m *8/Y*  
U)M :ru-3i  
　　cot（π/2+α）= -tanα 't ;gf  
m[)d\b3%  
　　sin（π/2-α）= cosα @r,u^7}0  
kOU3frE|  
　　cos（π/2-α）= sinα (N#j5e  
[+aj &  
　　tan（π/2-α）= cotα |O027ZL!  
@N3[qV\y0  
　　cot（π/2-α）= tanα 8KoqK,_)  
0ZzX%hsum  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ,O$CH /j%0  
{@U=|t=g~:  
　　cos（3π/2+α）= sinα JFk!Av  
i'zB^>T&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 2"Pm)~,VA  
&<Yw*jq  
　　cot（3π/2+α）= -tanα *uZm[ a  
^4SK]_3pU  
　　sin（3π/2-α）= -cosα dg /R#Ip@  
J2-1!&3d  
　　cos（3π/2-α）= -sinα xZ(4*CtI  
cUOqraW  
　　tan（3π/2-α）= cotα b%@zP<f  
/WB)#I C  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]<oGO8{P  
hc] i0  
　　(以上k∈Z)  /}hpQQ  
Kubw#kZD8  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 /0 mYx*0  
GoZ8[wAI  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = dz]IU1:T |  
zt6;"X#S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } k*Y|ReT*  
'T M_P@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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