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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 CHBuwy  
Xbaz}M=O  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +"<O(]f  
LL1^vb  
　　1、三角函数本质： bq.FI8%  
ny(RY)KN%  
　　三角函数的本质来源于定义 6XZ  
Pr1j9]b 5  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 =$ZD"iOU  
S?tBJ?!p+  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 _NtRof  
3`}@q Ua  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： =MnR;p  
P {6?KE  
　　推导： }SR}TJ0F  
/9lK ?;3n5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 1Qqc'y lm  
HvhR2 A7  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ;YT (1GK@_  
"O/-DP*tQ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~fTE~v~U  
.gOo]so  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 {U x{.?P-%  
iYS=m` Ta  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） z/\f1cs_8.  
SDZ  U0G  
　　[1] 9MyekJ)  
cHVd`>QW  
　　两角和公式 ,$<uG wH~  
l>R Eem  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB pHt.C/c  
,j.lyo  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  nGvra4=#I  
n"\pO1Az  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB TRF2"O6TZ  
,aI<p2\<  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 9RcqobL  
!tIBN$"r  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) "Rth15:?  
 ^j|GM   
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 1OyS2_  
[G%;RG!"  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  PovFgA>$  
xe(nk>n  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) =:(Nq  
's(o~</j  
倍角公式 FtmNq  
~~[e%&  
　　Sin2A=2SinA•CosA !D6Sj cto  
x c] M8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ;Ve"MF][  
KV/g1#G  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） e+O]g8@eQ  
 J^vtvLgb  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） k8,v'{N<p  
sb.B7=AP  
三倍角公式 'D)[7<t  
ngkJ )i  
　　 [\xEd)3U0  
Z1cSK]q2  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) VH<FDB3  
fb%]bx"  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) olhe8n  
)]Or906  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) kd3K5a  
a<dQ&  
三倍角公式推导 Io>\?J9y  
Zm909K  
　　sin3a O(vB:  
eduo0  
　　=sin(2a+a) huZB9a(   
|2e/v  
　　=sin2acosa+cos2asina r}C}| G/  
+`y]#$&  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ts%LWO{  
2GGK)n  
　　=3sina-4sin³a L%b1S;>qu  
{FZz>y  
　　cos3a @V~!tVAmd  
5W5vr %/v  
　　=cos(2a+a) 9;F3H}3  
P>l=h*/a!  
　　=cos2acosa-sin2asina nH/g(o{%  
_:*h) H  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa }Wf+_4Ra  
75: pXW'u  
　　=4cos³a-3cosa 6xhDY m\i  
~k o@")  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]$ s,dL,  
OE.FVkU.  
　　=4sina(3/4-sin²a) mDP~&xm  
W0KChI}3  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] pv,OX  
rV6/ -r8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) i}[ONhM?q  
 IQm;  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) l%=4EJ8  
22(2bb>C  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] pc#UJ`  
gxB#(v;?e  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %Mt1 L]8  
h 4^Uf&  
　　cos3a=4cos³a-3cosa m^5n)W~&  
jIjj ircdt  
　　=4cosa(cos²a-3/4) oW.Ephj  
h{A F' N  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] {Piohs ?  
FaZ}&z:z  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) %T*3gj3v  
1k8m:*U  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) nb |:<6_  
Sn~gU G)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 9p&R<7H  
)VZ1,0Dq  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) "RrPxV[x  
.Hz(H#7n  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] MAe3*e-\u  
0sH=%*XRPH  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] )7!\]%t  
6 RFlDb P  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Com*NB"j  
'TO\2L5d  
　　上述两式相比可得 Un>izj # >  
jL*1(0Sl'  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) .*O|C|`=  
<K 23[N6oc  
半角公式 \AkkxOw  
wX@z 2z2y  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); s~]BcZ^  
A7tbPK  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. g*Ue@,VF>)  
N/,  T$3  
和差化积 a&B D6_i  
4]HVxM)  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] wp<FI  
>g5W#_P$w  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Z*([3@s  
81ozGnrR  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] EyrJ:\b  
l+L.l_  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] W(8;q/B(R  
.Asey(0;!  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ]C\ 7E4V.  
%^le Gl^A  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 'EvUF5X  
1zZO.ur  
积化和差 %U'<G8#b  
fFiE5$x  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1RM$GF p9  
fAzSj7@  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] H'(L-L0`4  
(x^ NH%  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /TwAld  
j %}UU.  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] -OeU)/  
Te,b^5H#M  
诱导公式 rK8$gB($M  
[q| 2i9(  
　　sin(-α) = -sinα G _i9[X.FH  
GU@F"M  
　　cos(-α) = cosα A"86e  
! A*wiCw  
　　sin(π/2-α) = cosα %_ir1JTga  
'-}y4b 1  
　　cos(π/2-α) = sinα uHbC'Sd6  
$D'& '^  
　　sin(π/2+α) = cosα ^tk` 0@ qi  
`w}l@Z0|  
　　cos(π/2+α) = -sinα DP7'Y 7At  
N.q5y[v  
　　sin(π-α) = sinα %)-!WUgF^h  
PJ(v>)m  
　　cos(π-α) = -cosα YQtA`i+Z-  
QS_#:,v]W  
　　sin(π+α) = -sinα Ha..^V+  
c(>M,r;?{  
　　cos(π+α) = -cosα HICc 9  
6Nk5V1t_  
　　tanA= sinA/cosA \D (}Ze{  
* LoQ~  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα YkdCm  
5EIR?J Zg  
　　tan（π/2－α）＝cotα m:prS)aaR  
kts@Z[t  
　　tan（π－α）＝－tanα z,!$5xTd<  
h,` -RC  
　　tan（π＋α）＝tanα +L`(0NLL  
%3vud-=_  
万能公式 _sqc|{ {  
}kq^/A!&  
　　 Jm*(yUoY   
>;)m!&  
其它公式 &Rn^,Hp.G  
.CNVg  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,</D7eRy Q  
r3vi "SP  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ,Q k~zs  
w9U\vR <  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pE!|,s#  
:W$#\f%UK  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 $#5f*J?  
OYIZg   
　　对于任意非直角三角形,总有 KWj 2Kt  
c#)-o6hL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC V+\8dci  
P7 [!3  
　　证: TM>{ 7{Ur  
)7->I6NBFe  
　　A+B=π-C w~t/~If/  
>GuH#>7e  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &bcZ3$F!  
6_RSL\   
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) X_R0g(sg  
|E(#  
　　整理可得 A $l)P;+c  
L# O-g9Y  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~(& Q3D{  
1o87IH+(  
　　得证 !2^ I>J b*  
"`ALoG_  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 :O 2j"@!Z2  
<f4wf}Ih  
其他非重点三角函数 .cPi>x+  
Qyd= :W?J  
　　csc(a) = 1/sin(a) fx}[)4K_V  
0eo=T|,V6  
　　sec(a) = 1/cos(a) l8}@?Sy  
5#-OYx8G  
　　 =wSI{  
12ixC  
双曲函数 Qx&d%  
v:UiCaJ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 )6q8N?anZ  
'VT;"@7_  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 TxK. c,  
/K k]wf V  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) O M^K<L  
wOV^Vd?y<  
　　公式一： {Zzu\-\  
x>&$ OX}'  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $OaW_0U*K  
\W|PY'ulY@  
　　sin（2kπ＋α）= sinα w G+D.  
DN{;'WjD  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ,>?LBB*J  
{Q8$&H7z  
　　tan（kπ＋α）= tanα aA5JMf  
^{GL/@x/  
　　cot（kπ＋α）= cotα _G"xj^  
-Q'SS?'  
　　公式二： 6M% A!#ln  
9<D?"T  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： -gg/Wq4  
>;I>hQ  
　　sin（π＋α）= -sinα D%M2Kx@  
}/i8j<bI  
　　cos（π＋α）= -cosα %\JjDF?  
'<AE5ZGq  
　　tan（π＋α）= tanα 5lp  
t~'fE8B:  
　　cot（π＋α）= cotα /"mz_SYT  
XLIc 3h B  
　　公式三： J%HU$r  
rm2%*U8  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： bKEtTxCi  
?9!Mb  
　　sin（-α）= -sinα 0QW{A8u$  
q0g_.Pyi  
　　cos（-α）= cosα 6fL7(xr  
Bcjq iw  
　　tan（-α）= -tanα {9&_D8a"  
v_E-cG  
　　cot（-α）= -cotα &NQ wQ  
|&2mpu@  
　　公式四： ,hYWCEC s  
ud~sK7T  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 6Y.!7nD  
ffN |4r"  
　　sin（π-α）= sinα <%!D;:.'  
?3Ihh9?sh\  
　　cos（π-α）= -cosα 5M6#-]z  
)mv9Fc3+  
　　tan（π-α）= -tanα *yf~q'mj  
8*?p2=ph>  
　　cot（π-α）= -cotα )ST D3v\  
u~ ?BR8Ve  
　　公式五： H+Y4?_  
P;.%%][  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： !1pMzM0  
KTN\ z0luO  
　　sin（2π-α）= -sinα CT.oaa\HT  
B+ +{5WG  
　　cos（2π-α）= cosα )<it(rOSh  
`nf)<5Ytx  
　　tan（2π-α）= -tanα $(g_ a)  
N;G7Zi(N  
　　cot（2π-α）= -cotα cN`@Fd  
@PQm)-SI  
　　公式六： ram&bk_  
,8M$J  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： I_&T; d%H  
WiIj5/IbE  
　　sin（π/2+α）= cosα /b|72"6  
5h8Zs#w  
　　cos（π/2+α）= -sinα QU~fL}JiE  
p6~E(#Lz)  
　　tan（π/2+α）= -cotα Vw>7$B  
Tx:OF 3i  
　　cot（π/2+α）= -tanα == @yxKl  
$z'o$T2&P  
　　sin（π/2-α）= cosα Z`l@W@\  
vhoFH o#  
　　cos（π/2-α）= sinα 8#n+I$m}  
](Y*{B7m  
　　tan（π/2-α）= cotα i#+%yBq  
J~<1|:i  
　　cot（π/2-α）= tanα k}n7+%A#}  
ATbF,`&I  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 1'6QIkwO  
p1^G=xm  
　　cos（3π/2+α）= sinα a"Ql]$Q2  
L_jWi]r  
　　tan（3π/2+α）= -cotα xcIJ9*Ls^l  
9Z|bg&yuW  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ),fCj.S!  
(&R+67  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .O0RG7kv  
ro8Mb,S  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 88CJ{=)  
oV3;E;-[f  
　　tan（3π/2-α）= cotα .6vad{H2  
g6BGUca=k  
　　cot（3π/2-α）= tanα V tk`DA_5F  
w/2wKekE6]  
　　(以上k∈Z) T?s6V,:^1  
'UV-N*P  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 1wwv:$  
P01gG   
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = )G\gI,5:\  
&PgZyfu&Y5  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } &A(MJ  
Q:G2Z/0R  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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