日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 rqDk}tw  
) L?lk  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. D_7d@U[d,  
N(}'I]  
　　1、三角函数本质： 0wXJ<F2,  
M>h zM9_B  
　　三角函数的本质来源于定义 7v1I6z$|  
1b51XKK1c  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 M_P3*>2  
?dbgq<8  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 W *7{&  
P .V`Wj~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： oY2l5rGCd  
%J]jV\dK  
　　推导： =~h%-h${7H  
\R6(]!  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 (uY 6Vl  
H U< 7fb  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) :eLflYJ  
Xj'4 0yD|G  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) QZd+ $~  
h i| H{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;I~jVzNWE  
$iPh$ n  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $9{~rov  
)em'@LgJ  
　　[1] 2kI)PE"n  
sC:hoNK  
　　两角和公式 G}Js7 Xk  
< :w(II8,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB U0:cMo~K ?  
7b[J$atV3  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  }66m#A.G  
dH)AMr  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB isxN!mt  
^Xb$Up  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;ObR 4I  
h c!)/d  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tz|n(70[:  
eM)K 6HBMU  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) xx?N5c$xY  
/f2]~81  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ~A[a^s9X  
9`w9f ~rzU  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Nluy-d  
H{/J,'h<  
倍角公式 >QqZz$ l  
ZY':{sX&  
　　Sin2A=2SinA•CosA sU#~1]xsz  
#09h@ iwt  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 imil^|7  
[h[,JOE?5  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Ptz"y  
B(`$-k  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） j*+h(r "`  
oWjz3b/ 9  
三倍角公式 VaLI]s]X  
S0Hc&B-&  
　　 nX)/aM[  
W3$03} OZ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) N#=n%TH[Y  
O|ydk)9  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) s E9aUV}Y  
/s@V 20>A  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F?01"(9  
1Lu`iF   
三倍角公式推导 oD0%_Hq0  
+ ?J Cq*  
　　sin3a |Ym~ :s  
B/ l$@F  
　　=sin(2a+a) w{]$Ud_  
JOlanu(zE  
　　=sin2acosa+cos2asina 5^|^g9v,/  
pk bQ[((  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina &8GF$f~  
[$gK G  
　　=3sina-4sin³a PC l?|k./  
>/3A1_'Q  
　　cos3a \sx+48AzJ  
$74^pf xV  
　　=cos(2a+a) 'l/*Ksyztt  
msi)P  
　　=cos2acosa-sin2asina 5@>Qr_  
F_x'Q@.  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa }^WA_8O:(4  
 r{+>Gsz  
　　=4cos³a-3cosa '8<`mL")  
/V' Tv*o  
　　sin3a=3sina-4sin³a Uto(D!kO!  
aq} B"  
　　=4sina(3/4-sin²a) =.4,i'8  
2BjQ|Vb0t  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] +(NM`  
,KsS;=&SH  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) "G\#L3lg  
#N~*+AC  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 9U3~ 0&  
cv { {?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] %<IoNyC  
X@aNu\  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) T "kbRk  
}> t<  
　　cos3a=4cos³a-3cosa yC`%p20[t  
&:^h_b=8  
　　=4cosa(cos²a-3/4) dW'dl,x  
S4-L=Q$<@  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] g8MsO}2  
GSQM)xl-N  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) &qL:r9B  
8PBd*Q.Q  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /;<ckA=&  
E-Mm  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} LigrPYqM2  
P,7%00d0_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) n;+F  
qi5oHy 0Kl  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] gDS2C,'q  
b;\ DQ, Bw  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ]n>#:1Y  
k5_F~ryv  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) UZ --;B"  
:1NppS  
　　上述两式相比可得 AEIQ4A*k  
o< H|^mv  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) !]hx'k}d  
 +B(  fZ  
半角公式 9}-tj-$NC  
S Zx$VJ  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 24%.4v(a  
F_Q%OFy!t  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. jn&#_|P|  
L#l27.70#  
和差化积 vQmMb]cl  
u/?Y~}V  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] wH%*[sM;hZ  
S$ObkdBh  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] JW:&J  
Xf`htp5_  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] |qB,xcj5)  
PA^p+W'uY  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] bv!n;O@  
M* 1[Ak  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) V~*=Gp4  
bMX_   
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 8{TdzMWj  
_vP.Swa9#  
积化和差 Ot5`G$n2  
)}K{nR@  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] -hO>Xg"Y  
. F^E0.8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] != ;~  
-+cqI2;+  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dOu 8.a  
4UP](:=  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] OC7S)<Xo  
:>3>xKN]@S  
诱导公式 z;{j'4  
;lgV,V8~ol  
　　sin(-α) = -sinα )4 rGl1Y  
8Udv!u3H^  
　　cos(-α) = cosα !?JHN9/+@  
F'*Q!AcbJ=  
　　sin(π/2-α) = cosα ULm/_`  
JGOu L@  
　　cos(π/2-α) = sinα O@iNKO|  
 ciYW,8i  
　　sin(π/2+α) = cosα  Hr&{  
R&  =DL $  
　　cos(π/2+α) = -sinα EuS~UIit  
i vd#_>4  
　　sin(π-α) = sinα VY@7K+  
Z}LlQd  
　　cos(π-α) = -cosα >m' kDcV  
]Ha3"ws  
　　sin(π+α) = -sinα =W#b.Z9  
7gVIN 7K  
　　cos(π+α) = -cosα i,.kg0)P  
]7 tQXq  
　　tanA= sinA/cosA m;uS2\  
'w=@UVTo<  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα g ?s/N  
^D?6`}-  
　　tan（π/2－α）＝cotα |Dd>8ef-Mb  
OP|tIKEKW  
　　tan（π－α）＝－tanα /o1= )2  
`'QuaJ5}<  
　　tan（π＋α）＝tanα 3|q  
;MpCa  
万能公式 &)pOGOQ  
v>'?NLJXNM  
　　 Qh_`R  
nq%np5bI  
其它公式 31yv4fn-z`  
q8y"STp$  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 DOMQ.8s   
*WPW ?*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 };u U5$V  
2~L;N25/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 7MiRh$\H  
E~` UJs  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 bS:sGlIBMZ  
J2}=Z  
　　对于任意非直角三角形,总有 T&,*Tn8E'  
hMG~=k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC iZZTXS  
8e\Ew4xV  
　　证: 5!.ELF\  
O {3F)C  
　　A+B=π-C L+CMUwNP  
rucg)6pr  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Jh8_GUAQ  
p*Gi    
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) rj{SUwPU  
lkg7vAmR"  
　　整理可得 f #wT9;WD  
z*bi"3*4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `WlyX2Z  
(?7kaF  
　　得证 u-85k0  
"7Leh3qf  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;(8+e1"F  
IYfj!t7/  
其他非重点三角函数 }1IvqD"~r  
fy|[+)<  
　　csc(a) = 1/sin(a) K7? ;jan[a  
2J1lek<sQ  
　　sec(a) = 1/cos(a) StL?'s2^  
`x8a],IRF  
　　 c? yV[dY6  
>eHN-  
双曲函数 kf33amm (  
!yLi.*{i  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 E:,~m<v  
V/f5=!,  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 avQa']gI  
>E'<k[vO  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) |e/G4h9  
+xIP3.4doM  
　　公式一： VlH@NKL3  
kUtF@w  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： fPCO2  
sRRS<f4?  
　　sin（2kπ＋α）= sinα JF!wpML.  
l_is@W[X  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Lj,Hi  
ablpM~_  
　　tan（kπ＋α）= tanα |jz3N[l  
AQ1SlE0i  
　　cot（kπ＋α）= cotα q3mLPtR<  
4Cinz3lcx  
　　公式二： U & WM0H#_  
{vV 9 *0=]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  R<i,_  
8[mkyBWN9  
　　sin（π＋α）= -sinα @%4{dT  
c3&n"&Qzn  
　　cos（π＋α）= -cosα |&Hs_)PR  
W$NS<ib4  
　　tan（π＋α）= tanα dLjAc  
}J%nf gI  
　　cot（π＋α）= cotα v0X8 "a@  
\ht^O9+  
　　公式三： x})hWdkQW  
*v_@dBf  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： DKJBm]-  
# r^<\1c  
　　sin（-α）= -sinα 0\-$ a  
u>Vr1f  
　　cos（-α）= cosα lD^w(dVY  
K Y+1W8 p1  
　　tan（-α）= -tanα $uon#_B [  
E5ox=@  
　　cot（-α）= -cotα -<z\k[J;~  
Ed }T&f;  
　　公式四： `R&&Na 53u  
6N8\')4XP  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： /B0k>p$  
`wv$<VBc  
　　sin（π-α）= sinα ]!!?#X  
PJ5DRXBO  
　　cos（π-α）= -cosα #mXzh Dr  
pA`E Bj  
　　tan（π-α）= -tanα `+6q*d  
R_h8D  
　　cot（π-α）= -cotα ?|5=Cioq  
(!}l:U"  
　　公式五： E+HR\  
Vz@jyq\1  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [z<(/w+!  
)O2WfL#TVf  
　　sin（2π-α）= -sinα o<PVwT`cNz  
M8]A"?(V  
　　cos（2π-α）= cosα e<SxN  
rms'$  
　　tan（2π-α）= -tanα ,~u ;Q!t  
+L|<v   
　　cot（2π-α）= -cotα <5mtq\{  
xJ-`Q[_!]=  
　　公式六： y!2.J:HT  
=fBOzc6%g  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： /IkCqy n  
/E 9'*]8 "  
　　sin（π/2+α）= cosα j=O`#<)K  
pm4Ur,yw  
　　cos（π/2+α）= -sinα ZXln5TC"  
@lb=! )@  
　　tan（π/2+α）= -cotα ^i6nib+  
Z][u?A(8  
　　cot（π/2+α）= -tanα kpGvnji5  
2gT@&*  
　　sin（π/2-α）= cosα y^m\M$y  
3cX%g&X~C  
　　cos（π/2-α）= sinα M?Km.V,41  
RZ} fQ|_2:  
　　tan（π/2-α）= cotα +<%%6W:a$  
cj? \2/ S  
　　cot（π/2-α）= tanα u"nC.N  
U6E E*}Mj  
　　sin（3π/2+α）= -cosα :/ W |H"  
h hU{x$BV  
　　cos（3π/2+α）= sinα m!$5Zyv  
>\g]'P  
　　tan（3π/2+α）= -cotα p\?Rxx Y  
HhgdHc  
　　cot（3π/2+α）= -tanα *w4/3-O9  
@n4/$K(Lm  
　　sin（3π/2-α）= -cosα v+tDw )  
Ef o Y&'Q  
　　cos（3π/2-α）= -sinα )%Tm 2%$"j  
o;V{/O=J  
　　tan（3π/2-α）= cotα !TVen]c  
,"`~53  
　　cot（3π/2-α）= tanα )RtBx#Ls  
k6`_vM  
　　(以上k∈Z) 2E.}K  
XEB8=F w#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >]?Zb4 hx'  
/D\*'XQig  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = S*;(  
5j}Du1  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ~B!7 C3>b  
";?O8B  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15489) |  收藏