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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 :lOSwxc5J/  
.~ixmwY"#  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. jJgZ}C/  
m,t ^IT 4  
　　1、三角函数本质： : Af1ma  
J=IZ7w,/fQ  
　　三角函数的本质来源于定义 /NT3<iT  
9<ILGA>1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 pTWP["hz~t  
^!Wi(+  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 U!FL5s[v`  
Sfv s} f  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： p9pBM$:'  
O- @eP|  
　　推导： -&LrcF`  
W,N/d P>u  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。  cT Lv  
(-wd3w(  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) r|";_T!Z  
aMm9Uc  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) a7 &7z  
4ubu)j=  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~A fX e=  
0lfx3WwfdG  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） h J-OS][[  
AQV%f';n  
　　[1] Qof@Zk.  
|mzP~v)~  
　　两角和公式 X49O}z%']B  
@OxI(V  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }*<Bz _  
;2=#);vp  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  %=@> Ev5  
*F(hR*% "`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB w:, X\1$99  
yLW0#/;  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 8]#!|`&0}Y  
xIbl2L;G  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {HJZ!&2T  
wOyoPSy?T^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Db`@f"n*  
sT_T\kg  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  h]|A  
?PKo/s3y$p  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %!%`I}  
imH#=VCJ  
倍角公式 f1`&+Ju  
/4(ci[  
　　Sin2A=2SinA•CosA ='l7Av.hu  
l<' fh  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @4 `Q  
[T1dhrYM  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 3N6V0KxUq  
R/ag],Vqa_  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） J%]%4/vp/@  
]_(xuGb  
三倍角公式 Kw*/!LC  
6E>33"O  
　　 jHLhadS  
lYwWCx;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) qiczyj-*=  
EHr\$ &!  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) lg%N9U].`  
C$lBH  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) yzc.&oN$6]  
GO5xOw){  
三倍角公式推导 k&!Zo CQ  
&a"4*U  
　　sin3a *!LLZ  
KqBxus  
　　=sin(2a+a) &ZF!AHw m  
BT+{2aB  
　　=sin2acosa+cos2asina 5jMC${SG  
Hd:bLRmo]  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 5 ;LW]AE&d  
8TzDgTC  
　　=3sina-4sin³a 97D]O(/zb|  
< wO;9+w;  
　　cos3a ]v4Q =W  
^PD!a"Q  
　　=cos(2a+a) 1ugF9U#9  
Ikv"1IG%  
　　=cos2acosa-sin2asina mkx~9EMR  
0K .3j n  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ${m-Gn@  
nrlt<8V  
　　=4cos³a-3cosa Y"y %`VW  
Bq'U~%CT  
　　sin3a=3sina-4sin³a dM/}kkb  
U2=J;TZ68  
　　=4sina(3/4-sin²a) nM4\yu 4Tw  
r o(?_`D  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] (j"0F@)  
$}LrvR10U  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) MtrozsR Q  
"3c2lUK;  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Of%\l:c  
I(m,M*/  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] .0|iId  
WSmD%H  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) m5ZXR-PT;  
qzxT~;kr  
　　cos3a=4cos³a-3cosa #Md\bSm0I  
uhk~Dh!5  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Z:@g>?6n  
MyM6:28'O  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] L<{nZ97w  
ydmVQIa7a.  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) K}@/v  
#zId5hV f=  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^h|N)4,  
X@SO^k;?  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} wGekP J  
1hjwg&[>  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) N@Rs`:  
\MRNvp  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] !i-YdP  
55O6*3^  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] z4j/{w8  
!eilCr  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 2;O!)b|"N|  
*"U U%3k  
　　上述两式相比可得 6KBP nl  
*N?FN9   
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )QlXQ90<  
DTKwg*m  
半角公式 t-*+!.1  
rI5Zp_ =  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); euyGL_l  
ixVG-'k4V  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. E~:w$ F(Y  
wH-9#hvZ  
和差化积 uK,'9pD-  
|[eNhX0  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?lG+|J_  
\?==sNm  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] PU.;ktY$#|  
K0 *q2' j;  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jNtr%j@  
F>|RE[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~9R7`S z  
VSE6hj>U  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) jK^h6z^  
i@q}''OG[Z  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) !&@RR/  
0d{6Xod"L  
积化和差 g%-CCZLeD9  
i\j|pz @  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] >rg;Vi  
WNXuZz[|$  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] *~IGhx_X  
^9u4 /s0)  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /;KH:  
.ycs?Y m  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] .Ye_b"  
rnwf83u}k0  
诱导公式 aSWirh;j`  
<6"v?w.  
　　sin(-α) = -sinα /?e"psW;  
CnYGha*S  
　　cos(-α) = cosα Joq +S>%>  
Y/c c I  
　　sin(π/2-α) = cosα 11(Fd\Af  
!ZwYPq h  
　　cos(π/2-α) = sinα @6U+l{sFS  
JBPcY".  
　　sin(π/2+α) = cosα 5)glVNuq  
~ HH\qgg  
　　cos(π/2+α) = -sinα vWiw*3>(  
"kA==UFCG  
　　sin(π-α) = sinα ,xc9G#5eG  
l`3  94-  
　　cos(π-α) = -cosα -F<jPQg  
c7I"2|gF  
　　sin(π+α) = -sinα =rXmM9"  
r)H8y{  
　　cos(π+α) = -cosα ~"=":c4,z  
vk3n5-x  
　　tanA= sinA/cosA /1cJTeI  
KPPXLTz/-5  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα M j4DDRN  
H[ /Ro.tv  
　　tan（π/2－α）＝cotα ^L3#N5~~  
% IHz$9%  
　　tan（π－α）＝－tanα f<nakQ$ZE  
*y)VzL0a6  
　　tan（π＋α）＝tanα 1-@RcR7  
6?e{b q3z  
万能公式 k=jx:Pi(M  
j3At K    
　　 |] a_-  
Q0wL7QN  
其它公式 \?]@<<RE 7  
;5e9/ap@8  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 kqB! HhRw  
|mGzS:9o  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 bfhym*~  
6=[m,9RvC  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 jr/:eZ1  
yr$!'i @  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 O92<OBRSa  
0G]YOx4l  
　　对于任意非直角三角形,总有 vo}FB|6`h  
' 5{Pw.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y>R^ryEKL&  
yF,#bN  
　　证: xeX'~N~~5  
&xNUWH}:  
　　A+B=π-C *==~ xX#  
2K'AKy  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 8w+,/x4B  
* '8dhT  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) T1jW,E  
Dc\'0{  
　　整理可得 N5dY!;>6P  
;3 ,327\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }2=Nfc::  
G hSnbPGu  
　　得证 qd@O+WW  
[Wg!To^J  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BApA  
OS]70Md*/  
其他非重点三角函数 4IELo:lxtd  
FX&|5Lfl3  
　　csc(a) = 1/sin(a) )m)U:'.9  
VqoFYr  
　　sec(a) = 1/cos(a) Fo9OR1/  
6i2\]5)  
　　 spMPrb  
MblF`[  
双曲函数 jSqbyI~8  
'^W<U.O@  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 kGxlIN  
:B} GD_S%A  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 1}o)orWyJX  
JpPuE)/96  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `pDi4.  
`,oT ug  
　　公式一： *R5PWS6L  
ncNV}=Qvlk  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： LJ9L|L jZ  
}p[-Rc@D|  
　　sin（2kπ＋α）= sinα z~Pe6u  
jeGj96i|  
　　cos（2kπ＋α）= cosα O"M<o*,;`  
tN/R2D)4  
　　tan（kπ＋α）= tanα oCTs|qIYX  
WB3CzlQ  
　　cot（kπ＋α）= cotα WIW DvSM:  
ZK^Weh&  
　　公式二： /Em\ fI  
?Iz)%2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： b|S4GRRln  
,YTxr4{X/  
　　sin（π＋α）= -sinα ]7Af!S  
E FGutJ  
　　cos（π＋α）= -cosα wX{50LK5"_  
't?Cnpl{y  
　　tan（π＋α）= tanα lj4 okN C  
)){lcz?N  
　　cot（π＋α）= cotα y4fX l4Al  
> k );Nu  
　　公式三： WVxyp<Pjq  
*< G|z  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 6w|{  
l-R.CnQPD  
　　sin（-α）= -sinα JqX*i4f mu  
@HyC /   
　　cos（-α）= cosα )m/*[&  
h7 d`  
　　tan（-α）= -tanα b=ig]|y3R  
.9gslGCX  
　　cot（-α）= -cotα o;0S?.B  
pKP O{3  
　　公式四： jp )h~8#x  
'h6 X"F  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： q]cp^^w/]  
'&uEDf+  
　　sin（π-α）= sinα cEZ<[W2~C  
jY8j?  
　　cos（π-α）= -cosα ;@j aC c  
O\#uSMG&x|  
　　tan（π-α）= -tanα 9Hz 7JiyV  
~!Pql|  
　　cot（π-α）= -cotα ~u94v,wD  
?_Aj` %  
　　公式五： 59E'6@n=@  
F2`=]W'  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： /fv0NgaMb  
G L"B&d  
　　sin（2π-α）= -sinα "<Em#m"b"  
#BJXq n  
　　cos（2π-α）= cosα k IcX|u `  
?`2[#J\,  
　　tan（2π-α）= -tanα xkNK*cm/Y  
p$QG,>6|]  
　　cot（2π-α）= -cotα M1i;p4/.}  
\ h~7p>^L  
　　公式六： @ nfmSw  
_ R[B-K8  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 0=RZHrG]  
+ ~C 0  
　　sin（π/2+α）= cosα +d+J(u{3  
O,q 1@wB>X  
　　cos（π/2+α）= -sinα $6/bfsu,,  
lo#X|NL '  
　　tan（π/2+α）= -cotα f<k`Gb |  
|vZIQ4  
　　cot（π/2+α）= -tanα X>TQbw}\x  
.plbSwbj6|  
　　sin（π/2-α）= cosα QR<x$ov>  
nm/x G  
　　cos（π/2-α）= sinα -N&P4 w  
<uLG f{ 5  
　　tan（π/2-α）= cotα fh <25S  
8*b}1r2  
　　cot（π/2-α）= tanα [cF"rk g  
hL/6`Z(j  
　　sin（3π/2+α）= -cosα cMA[:T]%  
\ ,jDEH  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,$V  
vb)p_bQv[  
　　tan（3π/2+α）= -cotα [/=4 !`g~  
~4QWzKaf]  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 1~k=e +  
Kn*r`03F  
　　sin（3π/2-α）= -cosα \ <Pu5  
p*p@7  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *C _b:qyn  
3]K[ 1x\  
　　tan（3π/2-α）= cotα 'kaZb'7  
=#tJ/$u#M  
　　cot（3π/2-α）= tanα "6ZeCmbO  
|T{h  
　　(以上k∈Z) @ 8IAWP  
M^ x\<-  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^ tRe a_J  
_CX`}@Xk<  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {v?.[E.7Z  
T9S-SyO7\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } eQ+ - `/  
w2:c/rbP4  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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