三角函数内容规律 :lOSwxc5J/
.~ixmwY"#
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. jJgZ}C/
m,t
^IT 4
1、三角函数本质: :Af1ma
J=IZ7w,/fQ
三角函数的本质来源于定义 /NT3<i T
9<ILGA>1
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 pTWP["hz~t
^!Wi(+
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 U!FL5s[v`
Sfv
s} f
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: p9pBM$:'
O-@eP|
推导: -&LrcF`
W,N/d
P>u
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。
cT Lv
(-wd3w(
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) r|";_T!Z
aMm9Uc
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) a7
&7z
4ubu)j=
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~A fXe=
0lfx3WwfdG
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) h
J-OS][[
AQV%f';n
[1] Qof@Zk.
|mzP~v)~
两角和公式 X49O}z%']B
@ OxI(V
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }*<Bz_
;2=#);vp
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB %=@> Ev5
*F(hR*%
"`
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB w:, X\1$99
yLW0#/;
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 8]#!|`&0}Y
xIbl2L;G
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {HJZ!&2T
wOyoPSy?T^
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Db`@f"n*
sT_T\kg
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) h]|A
?PKo/s3y$p
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %!%`I}
imH#=VCJ
倍角公式 f1`&+Ju
/4(ci[
Sin2A=2SinA•CosA ='l7Av.hu
l<'fh
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @4 `Q
[T1dhrYM
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 3N6V0KxUq
R/ag],Vqa_
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) J%]%4/vp/@
]_(xuGb
三倍角公式 Kw*/!LC
6E>33"O
jHLhadS
lYwWCx;
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) qiczyj-*=
EHr\$&!
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) lg%N9U].`
C$lB H
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) yzc.&oN$6]
GO5xOw){
三倍角公式推导 k&!Zo
CQ
&a"4*U
sin3a *!LLZ
KqBxus
=sin(2a+a) &ZF!AHw
m
BT+{2aB
=sin2acosa+cos2asina 5jMC${SG
Hd:bLRmo]
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 5;LW]AE&d
8TzDgTC
=3sina-4sin³a 97D]O(/zb|
<wO;9+w;
cos3a ]v4Q=W
^PD!a"Q
=cos(2a+a) 1ugF9U#9
Ikv"1IG%
=cos2acosa-sin2asina mkx~9EMR
0K .3j
n
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ${m-Gn@
nrlt<8V
=4cos³a-3cosa Y"y%`VW
Bq'U~%CT
sin3a=3sina-4sin³a dM/}kkb
U2=J;TZ68
=4sina(3/4-sin²a) nM4\yu4Tw
r
o(?_`D
=4sina[(√3/2)²-sin²a] (j"0F@)
$}LrvR10U
=4sina(sin²60°-sin²a) MtrozsR
Q
"3c2lUK;
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Of%\l:c
I(m,M*/
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] .0|iId
WSmD%H
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) m5ZXR-PT;
qzx T~;kr
cos3a=4cos³a-3cosa #Md\bSm0I
uhk~Dh!5
=4cosa(cos²a-3/4) Z:@g>?6n
MyM6:28'O
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] L<{nZ97w
ydmVQIa7a.
=4cosa(cos²a-cos²30°) K}@/v
#zId5hV f=
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^h|N)4,
X@SO^k;?
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} wGekP J
1hjwg&[>
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) N@Rs`:
\MRNvp
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] !i-YdP
55O6*3^
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] z4j/{w8
!eilCr
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 2;O!)b|"N|
*"U U%3k
上述两式相比可得 6KBP
nl
*N?FN9
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )QlXQ90<
DTKwg*m
半角公式 t-*+!.1
rI5Zp_
=
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); euyGL_l
ixVG-'k4V
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. E~:w$
F(Y
wH-9#hvZ
和差化积 uK,'9pD-
|[eNhX0
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?lG+|J_
\?==sNm
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] PU.;ktY$#|
K0 *q2'
j;
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jNtr%j@
F>|RE[
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~9R7`Sz
VSE6hj>U
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) jK^h6z^
i@q}''OG[Z
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) !&@RR/
0d{6Xod"L
积化和差 g%-CCZLeD9
i\j|pz @
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] >rg;Vi
WNXuZz[|$
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] *~IGhx_X
^9u4 /s0)
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /;KH:
.ycs?Y
m
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] .Ye _b"
rnwf83u}k0
诱导公式 aSWirh;j`
<6"v?w.
sin(-α) = -sinα /?e"psW;
CnYGha*S
cos(-α) = cosα Joq +S>%>
Y/c
c I
sin(π/2-α) = cosα 11(Fd\Af
!ZwYPq h
cos(π/2-α) = sinα @6U+l{sFS
JBPcY".
sin(π/2+α) = cosα 5)glVNuq
~ HH\qgg
cos(π/2+α) = -sinα vWiw*3>(
"kA==UFCG
sin(π-α) = sinα ,xc9G#5eG
l`394-
cos(π-α) = -cosα -F<jPQg
c7I"2 |gF
sin(π+α) = -sinα =rXmM9"
r)H8y{
cos(π+α) = -cosα ~"=":c4,z
vk3n5-x
tanA= sinA/cosA /1cJTeI
KPPXLTz/-5
tan(π/2+α)=-cotα M j4DDRN
H[ /Ro.tv
tan(π/2-α)=cotα ^L3#N5~~
%IHz$9%
tan(π-α)=-tanα f<nakQ$ZE
*y)VzL0a6
tan(π+α)=tanα 1-@RcR7
6?e{bq3z
万能公式 k=jx:Pi(M
j3At
K
|] a_-
Q0wL7Q N
其它公式 \?]@<<RE
7
;5e9/ap@8
(sinα)^2+(cosα)^2=1 kqB!HhRw
|mGzS:9o
1+(tanα)^2=(secα)^2 bfhym*~
6=[m,9RvC
1+(cotα)^2=(cscα)^2 jr/:eZ1
yr$!'i@
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 O92<OBRSa
0G]YOx4l
对于任意非直角三角形,总有 vo}FB|6`h
'
5{Pw.
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y>R^ryEKL&
yF,#bN
证: xeX'~N~~5
&xNUWH}:
A+B=π-C *==~
xX#
2K'AKy
tan(A+B)=tan(π-C)
8w+,/x4B
* ' 8dhT
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) T1jW,E
Dc\'0{
整理可得 N5dY!;>6P
;3,327\
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }2=Nfc::
G
hSnbPGu
得证 qd@O+WW
[Wg!To^J
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BApA
OS]70Md*/
其他非重点三角函数 4IELo:lxtd
FX&|5Lfl3
csc(a) = 1/sin(a) )m)U:'.9
VqoFYr
sec(a) = 1/cos(a) Fo9OR1/
6i2\]5)
spMPrb
MblF`[
双曲函数
jSqbyI~8
'^W<U.O@
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 kGxlIN
:B}GD_S%A
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 1}o)orWyJX
JpPuE)/96
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `pDi4.
`,oT
ug
公式一: *R5PWS6L
ncNV}=Qvlk
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: LJ9L|L
jZ
}p[-Rc@D|
sin(2kπ+α)= sinα z~Pe6u
jeGj96i|
cos(2kπ+α)= cosα O"M<o*,;`
tN/R2D)4
tan(kπ+α)= tanα oCTs|qIYX
WB3CzlQ
cot(kπ+α)= cotα W IW
DvSM:
ZK^Weh&
公式二: /Em\ fI
?Iz) %2
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: b|S4GRRln
,YTxr4{X/
sin(π+α)= -sinα ]7Af!S
E FGutJ
cos(π+α)= -cosα wX{50LK5"_
't?C npl{y
tan(π+α)= tanα lj4
okNC
)){lcz?N
cot(π+α)= cotα y4fX
l4Al
> k );Nu
公式三: WVxyp<Pjq
*<
G|z
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 6w |{
l-R.CnQPD
sin(-α)= -sinα JqX*i4fmu
@HyC/
cos(-α)= cosα )m/*[&
h7
d`
tan(-α)= -tanα b=ig]|y3R
.9gslGCX
cot(-α)= -cotα o;0S?.B
pKP
O{3
公式四: jp )h~8#x
'h6
X"F
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: q]cp^^w/]
'&uEDf+
sin(π-α)= sinα cEZ<[W2~C
jY 8j?
cos(π-α)= -cosα ;@j aC
c
O\#uSMG&x|
tan(π-α)= -tanα 9 Hz 7JiyV
~!Pql|
cot(π-α)= -cotα ~u94v,wD
?_Aj`
%
公式五: 59E'6@n=@
F2`=]W'
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: /fv0NgaMb
G L"B&d
sin(2π-α)= -sinα "<Em#m"b"
#BJXqn
cos(2π-α)= cosα kIcX|u
`
?`2[#J\,
tan(2π-α)= -tanα xkNK*cm/Y
p$QG,>6|]
cot(2π-α)= -cotα M1i;p4/.}
\ h~7p>^L
公式六: @
nfmSw
_ R[B-K8
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 0=RZHrG]
+ ~C0
sin(π/2+α)= cosα +d+J(u{3
O,q 1@wB>X
cos(π/2+α)= -sinα $6/bfsu,,
lo#X|NL'
tan(π/2+α)= -cotα f<k`Gb
|
|vZIQ4
cot(π/2+α)= -tanα X>TQbw}\x
.plbSwbj6|
sin(π/2-α)= cosα QR<x$ov>
nm/x G
cos(π/2-α)= sinα -N&P4
w
<uLG f{5
tan(π/2-α)= cotα fh <25S
8*b}1r2
cot(π/2-α)= tanα [cF"rk g
hL/6`Z(j
sin(3π/2+α)= -cosα cMA[:T]%
\,jDEH
cos(3π/2+α)= sinα ,$V
vb)p_bQv[
tan(3π/2+α)= -cotα [/=4!`g~
~4QWzKaf]
cot(3π/2+α)= -tanα 1~k=e +
Kn*r`03F
sin(3π/2-α)= -cosα
\
<Pu5
p*p@7
cos(3π/2-α)= -sinα *C _b:qyn
3]K[ 1x\
tan(3π/2-α)= cotα 'kaZb'7
=#tJ/$u#M
cot(3π/2-α)= tanα "6ZeCmbO
|T{h
(以上k∈Z) @
8IAWP
M^ x\<-
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^tRe a_J
_CX`}@Xk<
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {v?.[E.7Z
T9S-SyO7\
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } eQ+- `/
w2:c/rbP4
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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