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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 z cD[][  
 96&Y)5-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. B*LMX^  
(CywkRQ1  
　　1、三角函数本质： ;YWp\6A~E  
mX'TiJ  
　　三角函数的本质来源于定义 t{+7uYwd]  
,2^bmF?  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 vH.HgU  
"rFo4  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 a"Ysf.  
;flHV\m8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： $CO{peu\  
=fI:W>Q  
　　推导： =.'rU%K  
ulp`=Yv  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 YWx&{szK  
a2hmwc~_#A  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) d U"E[N  
[m<kV#K|IW  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) g}\/GX  
|:>E;}zSM  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 _Gi09'HC  
y:uXk/GjM  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） R`4OL*Y  
2%=PpucY  
　　[1] _BX^N7=h  
@=#?W{&3A  
　　两角和公式 uw9Hb6@  
<,<*u/Bda  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sfTod).y  
.*JrRp3R  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $DV1] ?t  
bG(Ou a S)  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB hbgeK+2A  
J^;K$/$H  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ol'^IjF(  
'\O1<Gf  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [ k]LkQ Z  
Pc"O,6' Z  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >==M)oVR  
/cCM\v!  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  a 5GyTgh  
PyKsL-JLK  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Kt>H@I  
mN+| FA!  
倍角公式 LuX`S; i>i  
IW+iZqaz  
　　Sin2A=2SinA•CosA bvCxE]nd5  
+gaTOEb;a  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 'dUH~U  
!jBt9z  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^FR!n-}Es  
A(3o9abGW  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） NSGioO  
C~`Il.iB  
三倍角公式 q2A]"Dh=gh  
CtgR"?4o[  
　　 WIK`w>Kt  
Ulh(t!?  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "daOo`YK  
<Rj9vUp  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) _/{x  
P{!tM}K  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) tdGON*u#  
q7E:/ \^?  
三倍角公式推导 u7F*  
F'I3q0bt!  
　　sin3a M2q166  
;Tp=j}  
　　=sin(2a+a) @h{xw%  
N)3@:#   
　　=sin2acosa+cos2asina /62m/|p p  
PgAK7vYXa  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina .YWqZ5oo  
a//@ r  
　　=3sina-4sin³a @OD=\3l  
L3ea>T\  
　　cos3a 2 %g("o%Rh  
xV&*?}z1`/  
　　=cos(2a+a) l=*vSD  
s]>eg%Hw  
　　=cos2acosa-sin2asina &{F84lb;`  
Kvvdrv  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa B6Id516@b  
'<KEU#2 <  
　　=4cos³a-3cosa C*t Ip (  
VlRci  
　　sin3a=3sina-4sin³a k?dI9&  
*~:T&8;W  
　　=4sina(3/4-sin²a) R8#39ap`  
0f>I"VY  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 00h6fM+:7T  
tOBXEQyVZ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) EB(F 'ef  
1\&m{$<!K  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) _yl/50"  
&V6x I 6  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] m84gU&  
\$Xz"6+.  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) SLQ2?%tpyB  
H4yz{C)C  
　　cos3a=4cos³a-3cosa B@e!039e^  
j CS-o4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \RCez<@  
q$i= C/  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ght 5xL^  
mYcSj~= ?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) JS,j^8|Ik  
>#_ mg;|G  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) fbO  
< '#fUz  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} EC[qw ]-  
SsPOW\nFnD  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  %z!s}o  
WPj` m  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] [&]&R\  
/q<<sSYV  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] s!F~tt1  
jSUCWNH  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) nX}  +e  
86H))}_M+'  
　　上述两式相比可得 eQ!wP5  
J(%4P  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 6\4 jWto  
~=NvAzwU  
半角公式 8 )|Lrt8s  
xc ~ 8(Y0k  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); TdySO}|B  
6 U8 I| o  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. qo#?edP\R  
n$PpX\\4  
和差化积 @vQDjH`{C  
uj`g|uX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &d`CRIRI  
sG'YA>S  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !AZX<8Yg  
\`L0M)3  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] TDf2%p|tZ  
kjAE,`az  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )MC[*LuJ   
LeKxj"97.  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $xa iH81  
+"HJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) QP5 E9*<8  
ac|SyCZ=  
积化和差 2+r&z)wMn  
~K,DvZa;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] eO[8_X-{  
_zp'<v8~O  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] =&lZ3l?q/  
{Zpfug ^,f  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9kmcg/9x  
Osq89f#  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :#/BoV  
<t2'g  
诱导公式 )q] |t9 M  
N0# RKFm  
　　sin(-α) = -sinα 3Uh!sI  
 $_/[6  
　　cos(-α) = cosα As wZg  
K!S`U_,  
　　sin(π/2-α) = cosα D><o)a0  
N3L,%i>  
　　cos(π/2-α) = sinα yc&f?n0  
^U>tLuCH  
　　sin(π/2+α) = cosα 8%bIQ-"t  
}9vc>nrk  
　　cos(π/2+α) = -sinα 6h>UUM^-O)  
2ssROQEj[  
　　sin(π-α) = sinα KBrU]z7  
>]i4Ld=/  
　　cos(π-α) = -cosα u.)zrl  
IP@`f  
　　sin(π+α) = -sinα 1HAw7g'OB  
s{~T  
　　cos(π+α) = -cosα (PTzBp  
~R &fd[/q  
　　tanA= sinA/cosA Ww&A":$vh  
<x!9OB  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα _t>~_E  
[L4Cl  
　　tan（π/2－α）＝cotα do%72X.  
"]Dpyi--V  
　　tan（π－α）＝－tanα 8R9k tbv  
#FMNof  
　　tan（π＋α）＝tanα L<XKVLx:  
0X:(SZr  
万能公式 ]6Gewlh:  
B9"Hd1sjy  
　　 3mB\szWcc!  
t)-e6"#  
其它公式 1%-VCHL)  
"}9A%m3@  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 B)?!n@MPh  
\O:+_:~+-g  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ynI % Z-+  
o0AP /t  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 B# 1=rB$  
/=x"<  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 #/-3` pr  
l<yT:@w  
　　对于任意非直角三角形,总有 -Lb #k\w0  
L_J}2 QQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zsfvQ  
Q{<H)z1  
　　证: F3)2R] a  
KS_ZN_ -  
　　A+B=π-C q'_s*A<F  
xNo9"-`no  
　　tan(A+B)=tan(π-C) *hRi+RmQS  
]`G7 f\Rq  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^vXG! {qT  
&U'Z6@   
　　整理可得 N 3P&Fw.B  
m:Us&Jm?6M  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC kQdE ^0C(+  
Ufj.Yp[6  
　　得证 .C~bgW?7i  
9d;[2cOS~  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 gB3[=SWlE  
: .dfH  
其他非重点三角函数 B* | V`\  
D-fjaI  
　　csc(a) = 1/sin(a) -|]w t!d A  
\0AckyP  
　　sec(a) = 1/cos(a) d\]a9"g7'  
l=U^0  
　　 AK.-Ij:T  
Q5On, C  
双曲函数 @qw2?4EA  
8v6ZdS  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 hNUrQG@PA  
!v9#^cHZ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ?'6C^x  
YlGA\s, #  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) .#Q]c5$(u  
<'@K&e  
　　公式一： vwX-1@dK  
T]ej%;z 9  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： [~$7w  
5 8i0Aq  
　　sin（2kπ＋α）= sinα L)Ovmey  
j]=^=&  
　　cos（2kπ＋α）= cosα !hR_!-   
r#:+kN  
　　tan（kπ＋α）= tanα TxBYV/  
8+J ],  
　　cot（kπ＋α）= cotα ,fU+ nl4@b  
xj\{,VDi&  
　　公式二： x.aCqg.M+  
jpjc(cZ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： d0 ,G z]:  
^-h/%9G" #  
　　sin（π＋α）= -sinα _CbaWVF  
4y4UeoL  
　　cos（π＋α）= -cosα -yuOF_  
}9t9;BP  
　　tan（π＋α）= tanα T]h8QP48  
v5R,;ck#mf  
　　cot（π＋α）= cotα WD]'.)"GOW  
7QDTX M(  
　　公式三： {sE>|DO  
 O(FB  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： O]-m5-U  
F`03^Msh;r  
　　sin（-α）= -sinα ?&-eU;zmyP  
UkS~QY3  
　　cos（-α）= cosα =:-twE+%  
 tU+"C  
　　tan（-α）= -tanα & jdkp4Z  
NTM9Ik}f  
　　cot（-α）= -cotα .nuD(&]:;  
^@=(a I  
　　公式四： hf~E${Ie  
thK*\)M  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： +AZNP\^  
TI$~ !|b  
　　sin（π-α）= sinα Myo^'3m&  
|./{YQ#\`  
　　cos（π-α）= -cosα x@uZ3:  
PCSj /(  
　　tan（π-α）= -tanα %Tcv<d L0  
Kt.T|~G  
　　cot（π-α）= -cotα k( 5gedco/  
DvK2-;c{  
　　公式五： +9LHm#8oE  
jJEN2U>N  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： S6#;)&Mz  
<Xa gH .|  
　　sin（2π-α）= -sinα Ai*qO]tg  
Hy[ |X=  
　　cos（2π-α）= cosα NMEB*PN  
LiB^)nV:  
　　tan（2π-α）= -tanα 7Y' Z o  
sVf.1b w  
　　cot（2π-α）= -cotα LEUPf-ok'  
_3wn||  
　　公式六： ]sF<;&Izlj  
vViIe6qEL  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： iP|}!.oi  
h9uw0b5:K  
　　sin（π/2+α）= cosα @-t&Rs  
YvZqdK  
　　cos（π/2+α）= -sinα -dE?qXZ  
? ax c>%P  
　　tan（π/2+α）= -cotα ~ "1atce8  
Vl2=\2B9  
　　cot（π/2+α）= -tanα bt#LbqGE  
[x u|9@  
　　sin（π/2-α）= cosα !=:6  
Zy+ m5 4d  
　　cos（π/2-α）= sinα DO,s~ ^  
@5n !O"v>  
　　tan（π/2-α）= cotα jmXnX; {f  
\ -A=o\wn  
　　cot（π/2-α）= tanα qoQ`]  
4d*}7;gs7  
　　sin（3π/2+α）= -cosα :[Y>dA[  
M;VidaFBj  
　　cos（3π/2+α）= sinα kN$vaR{  
T^6r;h\  
　　tan（3π/2+α）= -cotα $ jK!.eeHX  
i5ytcH  
　　cot（3π/2+α）= -tanα "Ezw#Cv  
@$jmFt@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 5}8%>90N'5  
f/ xJEYx  
　　cos（3π/2-α）= -sinα \ n.5/  
y0&4/qB{  
　　tan（3π/2-α）= cotα K.vJj=P  
nq^WN ,\  
　　cot（3π/2-α）= tanα ;[?=GRXDgK  
$]Bch?A7  
　　(以上k∈Z) icz}&@[QB  
o< F@-:P  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 v/frU~6  
Ap P]Hq  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = cL|KWL`PJx  
}F #x+-  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } cs_pbrKW   
&B YX  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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