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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 W>w!:gS  
_'TW3a &b  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1:-?icWXZ  
D;q@^1M  
　　1、三角函数本质： 0`b!5DDv(  
jytPM|f? y  
　　三角函数的本质来源于定义 %d8*MV:f^  
;s.-HyUHu  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 * ?{W*  
9L v?4C  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -? ZMKw  
6PT {r/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 'd:0n0&b  
tPwG0^SLG  
　　推导： <w}t)f?LL  
kDgJ9jI9  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 IV R] X+&  
?yxJ4g-bYh  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 3]y\ ng  
h'E8XaRj  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) q JrTj.  
E|L%&(g  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 C {r,Ci_Q[  
)VIW,-  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Vt2-{  
v~+ B   
　　[1] <:KyF dO01  
N8S/5 I  
　　两角和公式 j!zRK5  
\#bp\!H0N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cz2fWP  
o[(5twi.  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  AI?/!`|a  
})$x]1 z  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB W )ol [  
;v"l/}nL  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /V7=>g0#  
}`hJBZ@]  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) o^Q 4qx  
\\l}5u4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) i](XA[  
aP^7 rCz  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  P g1_KUX9  
Hv"dF|1b!#  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) h8[koVh%g  
[gt8~#  
倍角公式 O/do]A\:;  
+}l(N 1nfo  
　　Sin2A=2SinA•CosA gt ;pjr  
Q lX`KnH^  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %5iGV;  
bw&l:u)m #  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） #a%a^x"  
#d+C31JT  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） mOVd.sY^D  
t9MAKuB}  
三倍角公式 0I4'+E8>  
R<cXO3}t  
　　 $Ja w{  
k:\=F*L  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =P-@N3YhQe  
St]{St~U  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) K<dNe  
y@ANLc   
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 1*X/)fCdq  
C;~b^'Au  
三倍角公式推导 RD=L}DAT  
CZ!Qq  
　　sin3a ,@N;Ar}HFN  
F(&%)Xhr  
　　=sin(2a+a) g(v9-!jC  
J@;U@[RB  
　　=sin2acosa+cos2asina ok+~}f(,un  
%v%G]G2  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina S~h@IhW`  
H5B>7I  
　　=3sina-4sin³a 2nmo5`W  
%U *Re/va  
　　cos3a v 1g 1I  
\%! %lGpI  
　　=cos(2a+a) "`DO5n  
[j&R~C[  
　　=cos2acosa-sin2asina / J*F\`(_  
~*.ozS=+?-  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Jxl@j8ZD  
E(a*L$T[  
　　=4cos³a-3cosa eD=gdcj-  
Aa=lf o=;  
　　sin3a=3sina-4sin³a LA#);sw'9  
ob }xKl  
　　=4sina(3/4-sin²a) i 1)pB?  
kR?53D  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 2D<zKu>?  
[/TRlv&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) AHE }  
qo4g'KI  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Zp\"l{P  
' `.C&  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] XXkK> ,z  
{`|u6K   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) u0u?kU07}  
]p x58 S3E  
　　cos3a=4cos³a-3cosa )${&<g  
^'QTO;g  
　　=4cosa(cos²a-3/4) g<0C}OMs  
$]?~3U+  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] nqp3cmgw  
\ZO3hE+&  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 5 CcCto/  
t<x C:a[  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 6+Z2WcM<  
u+a_?1bMZ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Rwt{.an +  
lA*{7~  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `#U5:HY^  
Ng; l%'  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] #*z%Ip>  
fWh{SD1<P  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] F{M[ [R  
oW mbTb  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) icKIw1L  
6'V!@NRY_  
　　上述两式相比可得 - ""GSx-  
*2 r: l]  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) LZ?ovz  
#.$IrPBi  
半角公式 ZCC}:oz  
P4N7@P6'  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); uZ7!eN~Wj  
+WU dP=  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 9F';1DJ`V  
UN<~m7 C\  
和差化积 Y+5ofH   
n1)d* 6=  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] VjgIL uJ  
a{DyL`Y  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] r?afxs[  
ah=oO)I  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] WF+T|Y/&l  
@;,:TYXu  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m+I}GzV  
!6'Zd7+  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 3tr~"  
0B#4)Y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) :cLu!9#hw  
@$v<.MEdTH  
积化和差 JZn3\@T{r$  
\~HSek(VH  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] sj'96b|R  
EyyZ.c+fK  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $&$5O sU  
B09~P/?g~  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] @%l(  XF  
XH !I  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] V&ZmU/F{  
I%:K:=u*  
诱导公式 iO?({;RB  
Q,vb_,d  
　　sin(-α) = -sinα @ :FD^  
Z%O0'"4e  
　　cos(-α) = cosα )!17:zu%:  
BHJQJ,X2[  
　　sin(π/2-α) = cosα cA k  
XG$6@XL[  
　　cos(π/2-α) = sinα c>*U# $S  
D;gRje`!  
　　sin(π/2+α) = cosα P<qE/e_?  
]n/KHEq  
　　cos(π/2+α) = -sinα < >i$Wt~  
x u   
　　sin(π-α) = sinα =6#t><W  
hx=3EoX  
　　cos(π-α) = -cosα si*f,4o]  
ZiSJt$'  
　　sin(π+α) = -sinα PP#+7}@^  
C& `2YsH  
　　cos(π+α) = -cosα _J;=uaq4G  
@5S.M)  
　　tanA= sinA/cosA }r4Ax-t  
XIu)sE@0E  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα OQfMj%W  
@Zo*9'w  
　　tan（π/2－α）＝cotα CYTY`mYP  
'"! nZ^M!9  
　　tan（π－α）＝－tanα 7hO i   
LX,F@&A  
　　tan（π＋α）＝tanα A|k*@Ge  
Z J-`Sz  
万能公式 c `sO"`]  
\]p.z0+J  
　　 C=mowrX}h  
}*Y!#zgm  
其它公式 D&+''|;VU  
 yNHLdM  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 1a8^,%Y  
-pJ ^;3ZI  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 04@ e#(a  
TcS{hN!  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 fMm _'  
E]#d"dT  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 mYH"I{  
&{=@cq\E  
　　对于任意非直角三角形,总有 C] 5HgeF[  
";p^v^~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .)!z(eA4[E  
N9f -]Ai"  
　　证: x."&t[2\  
d-66G0  
　　A+B=π-C 9`%f-3QJ  
\>e9RNrR  
　　tan(A+B)=tan(π-C) jAf->J~&  
YcxPfXo  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) MS2#Sj3,  
Z@/AJl6"%0  
　　整理可得 ys]KdS=T$  
%/}Ll?y  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $CCKwC^=>  
8!^o-Pu<  
　　得证 GYg vdhi@  
vjBee ?z  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7J#jSej!e,  
QC=Sp.a  
其他非重点三角函数 -#``;}vm  
`]bsl=  
　　csc(a) = 1/sin(a) $PbKM5Z  
g6W}m/ddl  
　　sec(a) = 1/cos(a) i/ SzbdT,|  
Y(Ec#[I,  
　　 }(fctTY)  
iEx-uGML4  
双曲函数 .2 wYaJ50(  
'O@o:  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 0kRw=c'N  
`O %Uf  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 <H-RHUR  
'k]?)Y  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) '"s $+(4(  
Kpa 2"  
　　公式一： FVl"vv+s  
<8^p|Zp  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： GxR^{&  
@l0BfU[y  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  tj$ :THJ  
 WD5 }  
　　cos（2kπ＋α）= cosα "`{-a99E  
 iuoUVT  
　　tan（kπ＋α）= tanα jx}ylnJ  
6\>bSY*  
　　cot（kπ＋α）= cotα xIDb((;kb  
#=cq>dL+  
　　公式二： T0s84^<a}  
ad%\KT  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： fF!Q l@  
zt f*~8b  
　　sin（π＋α）= -sinα 7Y1C{OEj  
O 34zC  
　　cos（π＋α）= -cosα -^ LoV'`RI  
DR $|*  
　　tan（π＋α）= tanα `!kGBa<"_  
s/T~mS.Cn%  
　　cot（π＋α）= cotα ";v3QJU  
T/BtF  
　　公式三： [^*ES2Z  
-t#%d"C  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： {:E> hZRO  
?}EU?%R{:w  
　　sin（-α）= -sinα =Dq1"p%i  
g# TZ:1l?  
　　cos（-α）= cosα {2_P  
V]XiC;~  
　　tan（-α）= -tanα * 8|i9S'  
b!  4 P  
　　cot（-α）= -cotα ;.Mz,0(G  
BEVG"-\  
　　公式四： S]Hc3H5U  
FN,BEF8D  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4z#(NM:  
uK>cF;Z  
　　sin（π-α）= sinα }[lN]yR  
<R!mu\ U  
　　cos（π-α）= -cosα |Mz2wrsi,  
Q=zxYnN  
　　tan（π-α）= -tanα tsi4_A  
nLk)3&|FI  
　　cot（π-α）= -cotα s$5k)J 4  
`YQmp8>  
　　公式五： 1&Alg  
]"9R(b@s  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 3 $^48veF  
{0d'_B  
　　sin（2π-α）= -sinα [ajfU2dpO*  
< "` F +  
　　cos（2π-α）= cosα 0gLa W"h~  
dbYuQ\  
　　tan（2π-α）= -tanα 77kSBwsW&  
eO[Qo]  
　　cot（2π-α）= -cotα (paRHIYT=  
fz:Vskhe)u  
　　公式六： O/:yQ/y  
tqk84R %,  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： HfXB1?@R  
r<vMt^]  
　　sin（π/2+α）= cosα < [19n9z  
uX)%/OBvk  
　　cos（π/2+α）= -sinα Vz|]SlVGN  
Kt2vC`s  
　　tan（π/2+α）= -cotα N9 ka}EL!  
83-}]  
　　cot（π/2+α）= -tanα N+ ?^}AQ  
`;a8>4[I  
　　sin（π/2-α）= cosα !]K]Clj  
ES;%P=  
　　cos（π/2-α）= sinα `-lIvv  
|9>~v[ "  
　　tan（π/2-α）= cotα Q)9g{N`YM  
v>)ND98#$2  
　　cot（π/2-α）= tanα YY]x11i@  
x4^7rGjq6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ]y tf+Bo  
YMiZ99 gg1  
　　cos（3π/2+α）= sinα du91.Y.ZW  
;A;UJK  
　　tan（3π/2+α）= -cotα PTmL#-!rGB  
6Kh)ZWf\J  
　　cot（3π/2+α）= -tanα cFNz /4{  
Cjm'T2j`  
　　sin（3π/2-α）= -cosα @| TU{.  
"R\)(&zv  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +x8:n$~  
5cH EA   
　　tan（3π/2-α）= cotα S r=q(<Hg  
u?D`OlLP  
　　cot（3π/2-α）= tanα 4R7sx 9O  
GYf759':  
　　(以上k∈Z) -<U{D27  
<X(^h  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 |jzQ{@  
c$[7^&  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = G(eI< R/  
JJ! Br  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } g\(>_'}J]  
>^"c*B\yo  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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