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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 8 -~Yodu0  
\&Pmq3%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Uq#=eSR"  
~@GO6kFf\  
　　1、三角函数本质： z..I]9q-H  
2ac[   
　　三角函数的本质来源于定义 e}%g\]Mr8  
lj;.[1"#  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 "\K,w;tk~  
z1Z+ ]Va  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 3k i*C66&  
t9'vC(d3hY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： uHj;{e*  
jZ@ !Y  
　　推导： pe' q @  
:$q0x99T  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 z<K-k8!E=J  
k@CpMPQr  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) <^E%dy^>  
a @ |c  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) V\gk?i(  
@;a$` .Cl  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 @J. L):  
/R7_xO25<l  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） <tYQGJx  
~P~-.v>3  
　　[1] GZ>}~ v  
!=fO?@MS  
　　两角和公式 mz943S\kF  
t}xv_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ]l[MZm w_V  
;>TOj&\  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ;4-4fwS}  
x'ahm 1  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB $!lCJiY&  
?Eq hI 3z  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [f97iQ2'  
)RNueV  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ph,+<2{O#  
X\5p~bm8v  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) KhDJ3.'49  
*RM <LM  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  8T8$XOL  
\/|]x^B  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) g^HM5_  
0:(Ev7D=^  
倍角公式 qxenl  
C4A :"av6  
　　Sin2A=2SinA•CosA g tX~Z)L-  
:6-wTCu7`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Y e]|K_  
E-(d1-`hD  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 93>xV Z  
f(S]HY  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） d)H_'\WA  
poXP8 I  
三倍角公式 2Qb.=.f  
C+aJ:6eDN  
　　 a2c',}C  
vdk0l &N-  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4|`r ;aq  
D8aUa/H&jQ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S&\UyH_5  
?n]p~- R;  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |RY2s'([  
PT Fsz@  
三倍角公式推导 /W;tGLE[g  
&DeA4#8NjT  
　　sin3a (J~k0~  
,1z?|W^  
　　=sin(2a+a) fP'P=,AjXr  
 LdEqLyx  
　　=sin2acosa+cos2asina Z)MC tb9  
'IzT]ba  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina PhdHmC  
'nOR)L*  
　　=3sina-4sin³a Ir{*HV0Gm4  
BGI_^ D9  
　　cos3a ~P0'w u  
<bQ,;9|H  
　　=cos(2a+a) O4}Bf<V*  
^G eTw}%b  
　　=cos2acosa-sin2asina <\/hI0$z#  
Gq\q( X f  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .#Q5`E g  
}%?W~Z  
　　=4cos³a-3cosa 2?.PBt`E9  
^B8p3Rf  
　　sin3a=3sina-4sin³a  XKCA(?  
z=h<}0Hu  
　　=4sina(3/4-sin²a) qW ihG7\Z;  
xhR#Y?!L  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] (Ck)>5  
tfS@  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) :a$6ZV+8S  
[$@dW_B/  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 8*0W%#F!~  
) 6i  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1UP\o#p  
"os ? 8oF  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) &|^TtT|  
tJ9ZGv,1$j  
　　cos3a=4cos³a-3cosa qN5^B$  
F3XSYNL)3  
　　=4cosa(cos²a-3/4) t))s`_3  
]a iD6z&  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] QYAQ|hNQ  
}K:,CT :  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) mB2)d>#  
]2-w1E9H  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Jx>"c{!oP  
iFdwDv@<q  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >ZOpR}|  
EP$YH|*,  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) k V[z!F  
?}l@6R ZY7  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] z3c z7K  
^{f$_eM  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] nO4R^0H  
-;(j' C  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) E;g{W%  
SJUx!rK  
　　上述两式相比可得 8##,RsLDc  
+N.o.{yR  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ;K{XXE\  
vtLL &  
半角公式 $ AGtC,  
HNS(J0"?L  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); MEw={nO+n  
03vNXc8T  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. @eI V QYK  
oF@1HGPi  
和差化积 B5$\[~- @  
/e -y 14  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] F #ySBx  
"B/e%!NM;*  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] (DC Vnf  
 6wcF$9?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mv=&:_u+  
'Sk=0NA K  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] h>BMFu  
-U/No/WI  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) v5\ `<}<  
g<NLLG Yg  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ozF%iwx"<  
{^pSm&h]Q  
积化和差 Zz<6ro%@'V  
7_,TcG18  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] hChc)#oR  
35( %R :  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] :Vx@+\\/  
tdhyN{ M  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] odZ`DYB_Z  
\sD Wg,.T  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] DPlm4F`  
3bx7  
诱导公式 >u1#-@ly]"  
=RPr<+  
　　sin(-α) = -sinα <F}Re= 1i  
5+>gIUIz  
　　cos(-α) = cosα `Bl0WB[{7  
Lmn/m"1G52  
　　sin(π/2-α) = cosα AT*I@   
:VXD)c7  
　　cos(π/2-α) = sinα x$ 5oA$  
%silHExB  
　　sin(π/2+α) = cosα -*+`j bf}6  
*j)WU!k  
　　cos(π/2+α) = -sinα Hn5gP;{[B  
){kH),sfQ  
　　sin(π-α) = sinα !$T+xo I  
%E?wj/;(iF  
　　cos(π-α) = -cosα eFl0o  
;0{H75q  
　　sin(π+α) = -sinα 1)Vx?64  
q1V;3kL&T  
　　cos(π+α) = -cosα Di/8feL#  
+' >&EUI  
　　tanA= sinA/cosA eo\6xO^b  
PW\?>z&>@  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 61{KZf?Q  
wY 7RrpyDF  
　　tan（π/2－α）＝cotα [9ter[:  
KF7u <i^}  
　　tan（π－α）＝－tanα H;(RgRBj  
O?qYx]cIC  
　　tan（π＋α）＝tanα iA!*  
6Gv y2-  
万能公式 jN8xD a  
(qg!ntfFA  
　　 Sqs3+kXU  
o'D[kbpj  
其它公式 ,kcQwPh A  
`y0QB)(  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 UZ#0H 2|DZ  
f|t\N7a7  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9}Xevz -  
] }Tfl=@Zy  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Y|S>Za5  
etW ,L];  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K2 h8#3f  
zM?G v2w  
　　对于任意非直角三角形,总有 e!"h#CoF&  
C]z(Sy|}I  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC a.Dh0HyC  
{H&\Vo  
　　证: m)q:2#St  
['gg5QPc^  
　　A+B=π-C &*=UM*  
Y#P1p 2 Q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) EzM32Il  
sHR0 }:G  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) fHb3c  
&{Aq+;o  
　　整理可得 1NJ,A*%A  
5%is-a^L  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Mw F I;6  
zAylsILJ}e  
　　得证 [C(] q`1I  
04n LxLz  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3b%L<  
DQB#5e  
其他非重点三角函数 M>~$O   
o0?QTR48  
　　csc(a) = 1/sin(a) -6ZbOX1"3  
.M1: 'u~  
　　sec(a) = 1/cos(a) gl4#xzW  
4P!\`K *  
　　 *U+p1xja,  
D[cw%`Q[  
双曲函数 9~UY| $  
c;$yKv*eY>  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 |4W|u0vW  
ig[yI6-z;  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 u`KTo <  
z\eZ~4  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) -E]om=nJO  
l,6ylDK  
　　公式一： kdh6C}Cn%  
vxX>:|#  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： .r0VO(GI  
S<?a[GoJ  
　　sin（2kπ＋α）= sinα *=Z)rP ]  
L)` 1 l  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 9*B.*zt R  
uM 2,~ca$  
　　tan（kπ＋α）= tanα 5?Xkr^GZ)  
}+ha4~=  
　　cot（kπ＋α）= cotα w)y^!`  
W <"d#  
　　公式二： 3!tYeCk7 E  
Gc6$}4%  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 7a= J<k;i?  
gqrJs 6W  
　　sin（π＋α）= -sinα k5{bIHKD[  
V8r\ kmC  
　　cos（π＋α）= -cosα O4,8+  
Yi\dn' M  
　　tan（π＋α）= tanα *lZ"lFQjW  
m(=52u  
　　cot（π＋α）= cotα p-2l]s _  
hFO b_d  
　　公式三： x9i\   
I/7^r  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 6\7XP[E  
I, ~AzH  
　　sin（-α）= -sinα `W;^  
-7n652mD(  
　　cos（-α）= cosα xW+IX@+D  
t=i+TX  
　　tan（-α）= -tanα M=}}n~y  
u (sR>p>  
　　cot（-α）= -cotα *@k`<i #~  
yzl$[KY  
　　公式四： 6 w &+*L  
eB Wh> X  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： (r4 t3~s  
#G"nS*0c  
　　sin（π-α）= sinα | Z$eq[y  
PZ8jtP9t"  
　　cos（π-α）= -cosα V]?i];0  
:t\IL NU;  
　　tan（π-α）= -tanα rXz?|<PrV  
\_Z trm  
　　cot（π-α）= -cotα )2JR 8'x  
=LhluAaGS  
　　公式五： U^i|[q  
zTko&]  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 5-uF(b Z7  
mMW9   
　　sin（2π-α）= -sinα G %+jFh  
\2n3GW8x  
　　cos（2π-α）= cosα E6HO$d  
&sa \W.  
　　tan（2π-α）= -tanα W bLf  
J@?+u;,  
　　cot（2π-α）= -cotα "&O^a" ]W  
6^R56Uv  
　　公式六： zx^iZ  
km!6AEoQ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )D&qq8  
SWlUODh  
　　sin（π/2+α）= cosα ;#Rx [2ii  
]V9]It;  
　　cos（π/2+α）= -sinα "<G-yO\!  
RA[aH'Ke  
　　tan（π/2+α）= -cotα H~[ZP^  
,4ofYzJbI  
　　cot（π/2+α）= -tanα t4Ex1}1o  
T<&2yLJI  
　　sin（π/2-α）= cosα CX FMR\   
vg$M,d*(g  
　　cos（π/2-α）= sinα 16|YXa  
".' 6eG  
　　tan（π/2-α）= cotα /4Mb6(!Q_  
x _BOl  
　　cot（π/2-α）= tanα R3q-S,l   
Lnu %kB  
　　sin（3π/2+α）= -cosα cOV>?q*!  
RMBC9` j  
　　cos（3π/2+α）= sinα 60&_Z|O(  
l |A[w%C}  
　　tan（3π/2+α）= -cotα %h{pmQePJ  
aY{%hf;.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα mGb#LG}  
EdWf kR  
　　sin（3π/2-α）= -cosα #z! (Y7  
lb< C  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $[(]ACz  
$Al+0  
　　tan（3π/2-α）= cotα Hpy #G"1  
o>@k 8OK  
　　cot（3π/2-α）= tanα {BbeeXM  
,##9;bY  
　　(以上k∈Z) N/sk  
,mSVb\m> )  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Hx P*[d-s  
UimBd%l  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?. !J@c,  
os<T *   
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } "extyx.;:  
%Y7E$;  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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