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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 6k>@& 9l  
]jn'F4jr  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F>$zP46  
u~M8?*9  
　　1、三角函数本质： /dVLL@_%=  
zF2}A]tp  
　　三角函数的本质来源于定义 1gtke%j  
:q6li  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 H9e?9<zQ  
\JP+m:,=  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 J\HS]?  
L@ 9g"Y]y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ^(u]Gpa:N  
7{f4xJ  
　　推导： be5*>uV3  
*O~T& 6k:  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 RoQC*Ue 3~  
o}e=4~e^  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) V+qsT~  
WPZ<,Fl  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) M3Zc!\B_  
{T^?W|gI  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 T!pvwe~  
Z/U:IL 9  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^n6p{nvS  
.%wJ-V _  
　　[1] ~o=~u]R%  
s[0J%W9re  
　　两角和公式 ^;nfKu  
*|*B7:`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB lSV:9/=jI  
6tkLQ4k>/  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  PD$=\6)  
B'nl'i#  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ,],Cy{  
qMm|!7.ei  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +{,yeFIy  
N2- 9D<e;m  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /cP*WyR]  
tK7[WU])  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ` j3Sw3P  
`< S,Bv6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  74:&4 ~e_  
]G-:HPf@   
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) }` B"j<  
1mK6iho2x  
倍角公式 2[xq/[hR  
i6CghQ-b  
　　Sin2A=2SinA•CosA R0qh6H/r l  
NJ'`G Ktr  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 1EPzjh(  
<*48!F@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） `=mLV H%  
s G_f *d  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \Au `@y k]  
j]{+yz"cq  
三倍角公式 !T*q46^T  
h* xT3n  
　　 o|A )~.  
|5_ONV  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) H@Mu )$V  
'}h%tZ=i(  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ! >x:vh  
M{8,O&)]  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) gm%NZ!7u  
{3ymUF[  
三倍角公式推导 "(Y0eu.[?  
p /JLI  
　　sin3a IB:%rJ'  
T DrxM/E  
　　=sin(2a+a) nOG kZ  
5fR/*EY  
　　=sin2acosa+cos2asina Myz]? !#,  
i= %mb  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina vBx]g;|P  
5"q-@Wt/  
　　=3sina-4sin³a }/TirFh [  
5f&~   
　　cos3a iJEC|6nI  
7&ls:u k$7  
　　=cos(2a+a) }c4] gXCe  
{pRN+e  
　　=cos2acosa-sin2asina 2W<1]TL  
onGJ.hC  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qymKq5CD  
olO|KpKs  
　　=4cos³a-3cosa 5}sZ2*GNd%  
TRop6  
　　sin3a=3sina-4sin³a !fbeb/15  
Cv'DV  
　　=4sina(3/4-sin²a) 2+wO~J m  
4E"B1~^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ^H?XiI  
*sVfjF=Qlc  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Z*D4#&q  
# ?u;H?w*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 9 J3&$7m  
YphDY?[  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 5DQ!knx)X3  
cWZ.{4F6  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) K0. AE6$`  
NYS6$iGo  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 5*:Mj g2  
{GYOZC[i  
　　=4cosa(cos²a-3/4) DXui3QA?T  
4J" UDMQA  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 39d9|m*  
fn)`.WK^|  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) rW,X?\U\)S  
-.3R-%(,S  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /!>PAt  
4y'y^'~1  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 'g[} #md  
jcA:I_zYD  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) z<o&UuGtU  
`;CrgnL  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ;ChnFN_b  
@\h/  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] de76lCE  
"7- f& f>  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 8~@cvRH^  
bY;X 9~2.  
　　上述两式相比可得 Q kI7VkH  
~x3gRPCJ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ..n4iY  
0r0bhQHB  
半角公式 [\}aZ.Lb  
4kGP3  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); `GF6xc~y  
C(8 ZMn  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 5<i@ppK}  
'c.X-dt>  
和差化积 +YW,laf7uI  
">I#U+Zg@T  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,YH_tvw[=F  
e\7j8{lp  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \`@75w=M /  
~& JRm'S  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p/$WL"G{  
9yho GM=K  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] s|<ORho\  
lU wvrwb  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) x5^'K>`  
pf}fLY|8  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~p dYw;/  
(s[,U!  
积化和差 * gqPod@  
-^3)D?bE X  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] $I7;XDW  
M!ZtnJP~>  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] +Lh>jJNTYq  
F@hN|fz \  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] f4~ k!Ee  
+S| I2bh  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] GTQU}2('H;  
7I+uAA|  
诱导公式 N'y&y:Vv:i  
S%z @PO~v  
　　sin(-α) = -sinα 4HeQ03l5f  
, 40   
　　cos(-α) = cosα ;||5E,-PQ  
".+p4Ze/  
　　sin(π/2-α) = cosα 1FF5~)&h  
>RO,qw  
　　cos(π/2-α) = sinα W53Vt9rh  
f{P1'H  
　　sin(π/2+α) = cosα dn?VJ `70  
}hA}\%  
　　cos(π/2+α) = -sinα b'zz"Djv  
i]9i>L(E&  
　　sin(π-α) = sinα w5C<>$79  
rz\^#Qu  
　　cos(π-α) = -cosα ~,k} 1PgS  
l\Xp   
　　sin(π+α) = -sinα ,U1r  ]$  
dl:L#2B)+  
　　cos(π+α) = -cosα s^a@"LN  
{xAael.  
　　tanA= sinA/cosA j5_bz$"r  
N9M(6p\  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ]w{;w\&7y  
"N?YUv<U;  
　　tan（π/2－α）＝cotα gdwuz6}rc  
?8W}D{  
　　tan（π－α）＝－tanα M%KLRyQB  
5rw`Zd#uW  
　　tan（π＋α）＝tanα m\i1]~  
j?o'A{h:  
万能公式 H%#]rjB  
^Whr2J  
　　 [GiN(C  
)<lh1.|O}  
其它公式 #U;G|;)  
iiH5A ~!.  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 vuRMa4*/u  
&[0$iVFoZ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 pd>) G{M'  
 h,+  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 A18O uQ&  
z.bZc`k+0^  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 _& \3M%P  
HKBcT   
　　对于任意非直角三角形,总有 ojr0 @{=4  
'\97 Z9<  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC baN?GD s`  
BPFh.KZ  
　　证: R$w2<KB+s  
gPGhE O3  
　　A+B=π-C {xeja<l_  
Eo$G,'<m  
　　tan(A+B)=tan(π-C) kgQ@ )k  
">Ya k0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) @{EUWy"c  
d9g!nt  
　　整理可得 pz<!lv0F  
@9j]'7h3  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  e 2bJ  
P -g= M386  
　　得证 vC#F)RAZs  
d*%ch B{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ( '0WjLeu  
@,F bsz  
其他非重点三角函数 Ib@IPocN  
|_/1mh`oe)  
　　csc(a) = 1/sin(a) oB3If9c$X  
hV n9J3~  
　　sec(a) = 1/cos(a) !# o6qm]  
@GHZ!':  
　　 #\^I_u0 1  
9@rz97  
双曲函数 Egj  
_Q*] DAW8  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 &YWz#> m  
f CI%g C!]  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 v)K&XRf  
O@R Rn=  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) A0BejC  
_yD+HLG~  
　　公式一： Cgt`Ilf>}  
 n; u#=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： STmV< C  
@ +e-@K{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα wbL65( A  
WG3 AwGu  
　　cos（2kπ＋α）= cosα OSDYe@yn  
^ +h, ql  
　　tan（kπ＋α）= tanα )8 t\WolG:  
Mq M=K) u  
　　cot（kπ＋α）= cotα YS<{w9O5  
I+c4g|mV  
　　公式二： NX4)*  
AnNX1;D  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;JJ},Mia"f  
Cs=Bv]s-  
　　sin（π＋α）= -sinα BK `'ZpJs  
Cm9Q  
　　cos（π＋α）= -cosα Mj0)6G%3  
(":VJu (  
　　tan（π＋α）= tanα @RJDgr<  
lN<8d8A%  
　　cot（π＋α）= cotα bZ9? tbe  
*< / 9y  
　　公式三： aUjcDM@  
Y%e4k9Js  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： LO,(VtA  
hb.)fu?Y[  
　　sin（-α）= -sinα )ys^69  
o`Gt:  
　　cos（-α）= cosα pt VZ {\  
M W,e  
　　tan（-α）= -tanα VOHO?m  
@i!K!]  
　　cot（-α）= -cotα /9mGj  
Ao@[_WG  
　　公式四： @XWo  
?~`3DQ>  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： :B X3SHoD  
 Dn+(1C  
　　sin（π-α）= sinα wvbNn?>  
3b4=v0  
　　cos（π-α）= -cosα N]/ Y5#Pw  
nC-30J(vr  
　　tan（π-α）= -tanα %Qm3T*"g  
7Bh*,y"{4m  
　　cot（π-α）= -cotα ?.r r1ii  
a,{#_u(nz0  
　　公式五： {Jsq65M |  
\nm] <a)  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： c<Jfr\AIH0  
/+DiL\M  
　　sin（2π-α）= -sinα ?_j%<1  
>L@4mxK"S  
　　cos（2π-α）= cosα 52n2x's_4  
VCx`v/  
　　tan（2π-α）= -tanα 69X*Aogz  
EF9/|-c?w=  
　　cot（2π-α）= -cotα o3`TUJ727  
~M(7r  
　　公式六： $eM:   
IRP6vKC  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： TMl}<  
w>g\PJ V  
　　sin（π/2+α）= cosα 32n#NDJZ  
L3] }d]r,x  
　　cos（π/2+α）= -sinα 3#%n3 q<}:  
jtA&*+;}L  
　　tan（π/2+α）= -cotα WYr'ml  
^EL.xV3W  
　　cot（π/2+α）= -tanα ~1Lm*~*FUE  
qN- Ce$w  
　　sin（π/2-α）= cosα \h?2Xk68O6  
&NGTDFz  
　　cos（π/2-α）= sinα WjJ-Uhm&p  
5 -M^Rj*B  
　　tan（π/2-α）= cotα  ` 2 69@A  
vb?' _  
　　cot（π/2-α）= tanα 9}4ZwXM  
y' ]T,/;l  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8i*uaLjZ  
k vkm8c[hl  
　　cos（3π/2+α）= sinα $Qe17;(j  
KI+?tklE^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα RYf'(m(  
*ne6KRxK  
　　cot（3π/2+α）= -tanα qL  
0T5X:lR  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Vs2pH]n_  
S^4>/T  
　　cos（3π/2-α）= -sinα &gS 1?Fb1  
gRlU7<?=c  
　　tan（3π/2-α）= cotα :wjd1S,  
:9DO#,  
　　cot（3π/2-α）= tanα +8d'Uw6  
=UJ47`r1(  
　　(以上k∈Z) N!84BVX  
8 dYtMN  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ! hUE]Zj;  
>"RykD+vh  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = y\JV_B}  
4XM3[  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ;3 @{;u  
`CW#MG<M  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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