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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 dX;8d4JlT,  
I +yc~*}I  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. # \T3Oc]  
4a? ZfK  
　　1、三角函数本质： sp' w*E5  
T'//XNM  
　　三角函数的本质来源于定义 W \`,Kv/  
#)!]@Iy  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 MeaoU<Zr  
HgT)|h%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 2g$bvJS{+  
kv\{],nD*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ?5C9-[}A`  
G WY{  
　　推导： `7vCq`  
U[ q(KOg  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 @}[ a)  
.sb4!05ENX  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) bDTk2  
|Uv} +  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gz,M g.Jsr  
.8 S<bK!  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ]k>4U"d* Q  
;|uP:.e  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Lt'vb2YU~e  
x{]'cAF|  
　　[1] l $'5eu  
{9f?B(m|!  
　　两角和公式 X6)1YHf  
<IIoKGgd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 0{g-1<DcS  
KpA9A&JP2  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  UA|(]'6  
JIN@D6  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB D~[DNUth  
P**2   
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB I[U *_/k&  
?]9RDG  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) mkt4\k1u  
'.>gT/>=  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Ix:Qzx? 7  
+203JVh  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  V~ GV#x$  
%D8P8p i  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8jE|@)9p&  
~[7LfW  
倍角公式 W+lS5  
8{VpU  
　　Sin2A=2SinA•CosA *^\mP(w  
e%xc29y9  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 l1.Cg\S  
Et# 7h\pm  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |~T 7j'yCR  
|`I{~ A[r  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） gCE>uOX;nw  
K0 y9)u'q  
三倍角公式 tlbx%vc M  
>r-4&lq  
　　 .,<V)u~ f  
V$~oV3]lR  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 1<0`{U? a3  
V7;,z#2]  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ]p&V![  
PS2'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) gs`ak h!A  
Htydh/F  
三倍角公式推导 .zr3^=u  
P {)v7(B|  
　　sin3a 'ox 8cw}  
g|St_n>g~  
　　=sin(2a+a) :-Bi0Z%i  
[D]3t!AB  
　　=sin2acosa+cos2asina 2--GFc  
XR -yN]A  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 9D]I) .  
BDLt)%"[  
　　=3sina-4sin³a H. hI+.6  
+Tu JEW  
　　cos3a M__N0Jxf  
nzNro,^wO  
　　=cos(2a+a) JHf;5kr  
ymP3( D  
　　=cos2acosa-sin2asina ss9qmH  
6D#<:bX?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa HOsViD  
}x" `8  
　　=4cos³a-3cosa wMLD^S{%  
'iShJQr  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?/kS6nb^  
:U!Fdi>  
　　=4sina(3/4-sin²a) n|YUt '^  
8T@lUe|b2  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] >,;JErAx  
vL!;p*>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]r\6n._`  
L,;O99j  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) z!]d$$x  
jx=B=U^*  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] jRGiGup8  
\N)q$~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 94 r:KZ  
0dOusDM[P[  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  PkENN4$%  
L?:?pV?I+  
　　=4cosa(cos²a-3/4) v=zZV@q/  
$envpyGuIL  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] }@=,?nu_/  
>S''}R0e  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) dzSB``i(  
 jUS3\  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) xDQ=|*KKz  
sQ'ydkj(  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} :Jw VW_&x  
[3@uF5 5Xo  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) V.Z r@R  
P,6>A  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] lEv_ ]P}  
5 j`++q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] uP') k[6  
T9] >ugt  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) tErV'nT;  
6wS7 9x  
　　上述两式相比可得 vwl[h0&P R  
7"VJiQv  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |^'?gP5  
_TjdRWE  
半角公式 r]~tQi+m  
*[KO~ELz $  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); i)'RzC `  
w6C!^k{Al  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 5oZ#/lap  
_p &(ok\_v  
和差化积 q&% . 8H  
jKl>(A=8  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~. \=\q h  
%7bZ Z  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }DoaJ{TYl  
,/V_F7$^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <\ g~NlX  
9bk2R2(]x  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [4 tZ2G  
#76mZz<S  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) R 0f_0nT  
%stEsk7}  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) DHy}N  
(1n |VacA  
积化和差 8t_$85g  
RSz jr =  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ^|HyZ8Z  
4F@h>ja  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] +6FVnuu'  
}qj.FR&6  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Wg|]uf0 lf  
wnJU-2.  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?y&4k>  
A<A.3"4  
诱导公式 uw)xYkW#3  
~Kwn_\  
　　sin(-α) = -sinα vo8QAui  
^~;l8^2  
　　cos(-α) = cosα pEm`uEV]  
oT~38N-'F  
　　sin(π/2-α) = cosα @sO|Frt  
zJ %}L\  
　　cos(π/2-α) = sinα rUsgc*  
VVkU31~  
　　sin(π/2+α) = cosα kNQkzRz7  
5r'RJ0=EG  
　　cos(π/2+α) = -sinα 2~nC{{&  
^OlZ>o=ah  
　　sin(π-α) = sinα ,Xi0VQ7F  
+UA" =`8  
　　cos(π-α) = -cosα 4>E`(;U  
Zm <r{Xv  
　　sin(π+α) = -sinα .W$1/67WP  
{&L9:&2'D  
　　cos(π+α) = -cosα [#0MG\fWu  
PN*y `+#  
　　tanA= sinA/cosA VmMd.Bg]4  
+@JH;q? \  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα CAqNY,&{1  
;%z{"uctG  
　　tan（π/2－α）＝cotα )h5fVb   
T[HuK5  
　　tan（π－α）＝－tanα `w,E.rD  
g b}LQ  
　　tan（π＋α）＝tanα *0a7C'L;#  
s cuo^t  
万能公式 _@=>L&  
,$%,3U!  
　　 [ 4>V r   
HHcEGn}  
其它公式 0ok@I>M~  
_ 9;zaWp  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 9EvXzq Nj)  
~"`xe04=  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 %;!- G:  
 3WLw  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 )-6 mj-yf  
nv4MKTu,  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 V>S=T  
p.[!=  
　　对于任意非直角三角形,总有 R1o~K\s^  
gL(%@SD/F  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >(buyV>W^  
p n|@A/c  
　　证: PM4=D XU  
10| /F@`p  
　　A+B=π-C l"Xl37V6  
;<, TJ BA  
　　tan(A+B)=tan(π-C) f&?dbI,4  
709 dra*}H  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) L=@}*DFW  
~Y4-7$?  
　　整理可得 \{)F5X7.  
]g^dL<2=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC SrX %t<\  
?.`\G41  
　　得证 ^xthoK`jKc  
W?13xV  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3GP!p?o  
 pke|N<  
其他非重点三角函数 @5 *[W7J  
0kKI BhL  
　　csc(a) = 1/sin(a) > }I*ok  
BLLx#jJ  
　　sec(a) = 1/cos(a) (PUt*[KF  
Zet1HbE  
　　  { S)_#i  
U*9!i-uv  
双曲函数 K|u\-g  
.=$e.)x  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 psnjtH4Yq  
vwdAgJ`YP  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~M+ME.5Kd  
*>lH>;U  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) '.}61!f  
.zcX13bB  
　　公式一： !wR9S{'&n  
,fmPC;O  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： f*zx#D*!r  
3e)(1XT   
　　sin（2kπ＋α）= sinα b+ s2@p  
OP>5lt.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ^&,KV5t  
@VoIT1gb  
　　tan（kπ＋α）= tanα ai~} p1@)  
%sCKsy:&  
　　cot（kπ＋α）= cotα /Z M)k  
!+i|1C|(~  
　　公式二： 2[EHOt|Z  
C1L5}  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： TwS\kLA  
srms5hHt  
　　sin（π＋α）= -sinα ]0Ig}xt9t5  
+H:0;okef  
　　cos（π＋α）= -cosα X{@)P,  
D1kn[~c  
　　tan（π＋α）= tanα K MJc}2j  
I!c #&fNH  
　　cot（π＋α）= cotα F4`,4_;  
|YBlC3a:  
　　公式三： -+W &h  
Df8s~je3~Z  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： >Wgy$YWZ  
p|HHQh`b t  
　　sin（-α）= -sinα :EyDDU!  
MuA 5h+  
　　cos（-α）= cosα U=32*Ts .  
].kY?6o\,  
　　tan（-α）= -tanα EbJr;)TcQ  
.jJaFcnga  
　　cot（-α）= -cotα ja\4< %[  
6gWeo7g {%  
　　公式四： ; +y9'm  
DO-M=b3  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ;/1ROnE  
89PyEbm'e  
　　sin（π-α）= sinα uia.aq:t  
/ F)8JC_\  
　　cos（π-α）= -cosα p}!LKnA  
ip IJ|Cnk  
　　tan（π-α）= -tanα DDGABX1'f  
.C_* w*  
　　cot（π-α）= -cotα tH vFn~Z  
iGq"MF  
　　公式五： R0+&EuR  
bqP]G  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Z?A8q  
LUE/chV o  
　　sin（2π-α）= -sinα % K5@W;t  
l4'(V`=  
　　cos（2π-α）= cosα e|q/87tyw  
}#RBY$F  
　　tan（2π-α）= -tanα h "$6jKN  
5%O7<+ v  
　　cot（2π-α）= -cotα {v9?ssD4B4  
 1>]O-b_  
　　公式六： a?g&  7  
l8$ 5H@Az#  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： LhV{{P/  
vgY~~l/mK  
　　sin（π/2+α）= cosα [9[G~O  
' Jk  
　　cos（π/2+α）= -sinα i<C!tg=  
UJfn&{V$8  
　　tan（π/2+α）= -cotα CD>a_Cba  
&'24t>VG/  
　　cot（π/2+α）= -tanα A "@|Y9/c  
^}p[eLP 2  
　　sin（π/2-α）= cosα c8a9F@WH4  
Y W6 (j  
　　cos（π/2-α）= sinα rbazUx/  
S>J?hl  
　　tan（π/2-α）= cotα XP;~xi3)  
Q9=nEC[>  
　　cot（π/2-α）= tanα 9Wtz*B|px  
b~3}rkSJ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &#b\M,q  
3#=QWo(={  
　　cos（3π/2+α）= sinα :_#x?+?&  
]n$QQWS F  
　　tan（3π/2+α）= -cotα .wDa"3  
vOt8q/  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ,=nTi  
IEuUb.  
　　sin（3π/2-α）= -cosα . qPU`wr  
%< GsJN  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 'L.jKGii  
~l9h597%  
　　tan（3π/2-α）= cotα i}KTK w  
z q:I!I  
　　cot（3π/2-α）= tanα ?^qiX: iI  
PSuM\Z~t6  
　　(以上k∈Z) zG^~K h  
tN9nn8#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 tK{Q'n,+  
nM-oODS!  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = cph${Q  
e8*L!EOt  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ,$Fud NjO  
u<>%d*Pt  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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